Über nach Polynomen fortschreitende Reihen. 
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für gewisse Punkte der Strecken i lt i s , ... i m , die übrigens nur 
eine Menge vom Maße Null bilden, nicht zu gelten braucht. 
CO 
Um die Reihen Xj v a v Q v (x) zu untersuchen, bilde man 
o 
96) lim V a v | = — . 
v — ► oo Ö 
Es sei 1) a> i 1 ) (vgl. S. 169). 
co 
Dann konvergiert die Reibe ?Li v a v Q v (x) in dem einfach 
o 
zusammenhängenden Innengebiet der Kurve U a , während sie 
außerhalb divergiert. Die durch die Reihe dargestellte Funk- 
tion hat auf der Kurve r a mindestens eine singuläre Stelle. 
Umgekehrt läßt sich jede im Innern von r a reguläre analy- 
CO 
tische Funktion F (x) in eine Reihe Xj v a v Q v {x) entwickeln mit 
o 
eindeutig bestimmten Koeffizienten a v . Ist 2) q < n < r , so 
00 
konvergiert die Reihe Xj v a v Q v (x) wieder im Innengebiet von 
o 
aber dieses besteht jetzt aus mehreren getrennten Bereichen, 
in denen die angegebene Reihe verschiedene analytische Funk- 
tionen darstellen kann. Auch ist es möglich, daß die Reihe 
in einzelnen außerhalb r a gelegenen Ausnahmepunkten der 
Intervalle i x , i 2 , ... i m konvergiert. 
§ 3. Ergänzungen. Zusätze. 
Nur um mit einer bestimmten Vorstellung zu rechnen und 
um des dadurch ermöglichten bequemeren Ausdrucks willen 
setze ich im folgenden voraus, daß p[x) auf keiner Teilstrecke 
des Intervalls — 1, -j- 1 identisch Null ist; die Ergebnisse 
und Beweise übertragen sich leicht sinngemäß auf den allge- 
meinen Fall. 
b z kann im vorliegenden Falle offenbar auch so definiert werden: 
V 
x = lim Maximum von V \Q V ( X )\ für alle x des Intervalls — 1, +1. 
v-f 00 
