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A. Pringsheim 
Die Berandung eines im Endlichen gelegenen zu- 
sammenhängenden Bereiches 23 enthält ein linienhaf- 
tes Kontinuum 8, welches die Ebene in zwei getrennte 
Punktmengen zerlegt, nämlich ein ins Unendliche sich 
erstreckendes lückenloses Gebiet von Augenpunkten 
des Bereiches 25 und eine innere Punktmenge, welche 
den Bereich 23 enthält. Dieses Kontinuum erscheint 
als Grenzgebilde einer Folge ineinander liegender 
Treppenpolygone und besteht aus einer zyklisch zu- 
sammenhängenden abzählbaren Punktmenge mit Hin- 
zunahme ihrer Grenzpunkte. 
Beweis. Wir können ohne Beschränkung der Allgemein- 
heit den Bereich 25 als abgeschlossen annehmen. Seine Be- 
randung kann dann von vorneherein keinen isolierten Punkt 
enthalten. 
Es werde nun zunächst 25 in ein Quadrat £), etwa von 
der Seitenlänge 1 eingeschlossen, groß genug, daß alle Rand- 
punkte von 25 in das Innere von fallen, somit, da sie eine 
abgeschlossene Menge bilden, einen gewissen Minimal- 
abstand s 0 von der Grenze besitzen. Wird jetzt eine natür- 
liche Zahl m 0 so gewählt, daß: d 0 = — < £ 0 und darauf Q in 
m o 
ml Teilquadrate von der Seitenlänge d 0 zerlegt, so werden 
sämtliche an die vier Seiten von O angrenzenden Teilquadrate 
weder im Innern, noch auf dem Rande einen Randpunkt von 
25 enthalten, also ausschließlich aus Außenpunkten von 23 
bestehen. An den so entstandenen quadratischen Ring von 
rand punktfreien Teilquadraten schließen wir alle etwa vor- 
handenen 1 ) gleichfalls randpunktfreien Quadrate des nach 
innen angrenzenden zweiten quadratischen Ringes, sodann von 
den etwaigen randpunktfreien Quadraten des dritten Ringes 
1 ) Sollte kein solches randpunktfreies Quadrat vorhanden sein, so 
muß der im Text angenommene entgegengesetzte Fall, wie aus den wei- 
teren Betrachtungen hervorgeht, bei hinlänglicher Verfeinerung des qua- 
dratischen Netzes sicher eintreten, man braucht also nur die oben mit 
m o bezeichnete Zahl entsprechend zu vergrößern. 
