Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz. 
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ruals abbrechen kann, also schließlich bei A wieder ein- 
münden muß und so zu einem einfach geschlossenen Treppen- 
polygon $£ 0 wird. Dieses letztere zerlegt die Ebene in zw r ei 
getrennte Gebiete, deren inneres den Bereich 33 und zwar 
wegen des Zusammenhanges von 23 vollständig enthält» 
während das äußere (einschließlich seiner polygonalen Begren- 
zung) lediglich aus Außenpunkten von 23 besteht und ein 
lückenlos 1 ) ins Unendliche sich erstreckendes, oben bereits 
mit 2t 0 bezeichnetes Gebiet bildet. 
Die an £ 0 nach innen anliegenden 2 ) SÄ-Quadrate haben 
teils eine Seite, teils nur einen Eckpunkt 3 ) miteinander ge- 
mein. Liegt ein Randpunkt im Innern eines solchen Qua- 
drats, so muß das letztere deren unendlich viele enthalten, 
da ja jeder Randpunkt zugleich Häufungspunkt von Rand- 
punkten ist. l^iegt er dagegen auf einer Quadratseite (die 
dann selbstverständlich nicht zu X 0 gehört), so kann er für das 
betreffende Quadrat und, wenn er ein Eckpunkt ist, auch 
für zwei benachbarte (s. Fig. V), ja sogar für drei in diesem 
Eckpunkt aneinander stoßende Quadrate (s. Fig. Ä I) der ein- 
zige sein. Es besteht daher im äußersten Falle die Möglich- 
keit, daß die Gesamtheit 
der Randpunkte, welche 
den an £ 0 anliegenden $R- 
Quadraten angehören, eine 
endliche Menge bilden. 
Im allgemeinen wird aber 
diese Menge eine unend- 
liche sein. Wir wollen 
1) Es kann nicht etwa ein zweites Treppenpolygon von der Art 
des mit 2o bezeichneten irgend ein Teilgebiet aus 5to ausschneiden, da 
dessen Existenz wieder der Voraussetzung des Zusammenhanges von 
S5 widersprechen würde. 
2 ) „ Anliegend“ bedeutet immer: längs einer Seite zusammen- 
hängend. 
3 ) Einen Eckpunkt nämlich dann, wenn dieser der Scheitel eines 
einspringenden Winkels von bildet. 
