Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz. 
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bestehenden Ring, der außer von X 0 von einem im Abstande <5j 
parallel zu X 0 verlaufenden Treppenpolygone Xö begrenzt 
wird. Enthält dann irgend ein an Xö anliegendes Quadrat einen 
der ausgezeichneten Randpunkte P;°\ so ist dieser wieder ein 
n äcbstgelegener in Bezug auf diejenige Quadratseite, welche 
jetzt an die Stelle der früher dem Punkte P) J) zugeordneten 
(ihr parallelen) größeren Quadratseite getreten ist. Es besteht 
dann die Möglichkeit, daß schon alle Punkte P{ 0) (l = 1, 2, . . . n 0 ) 
auf diese Weise wieder zum Vorschein kommen. Es können 
aber auch Punkte PP (möglicherweise sogar alle) infolge der 
Verkleinerung der Teilquadrate durch ein oder auch mehrere 
(einen Streifen von der Breite bildende) Zwischenquadrate 
von Xö getrennt sein. Alle diese Zwischenquadrate mögen 
dann an das Treppenpolygon Xö noch angesetzt werden 1 ), 
ebenso auch alle Quadrate, die etwa von zwei senkrecht zu- 
einander verlaufenden zusammenstoßenden Streifen und einem 
Teil von Xö eingeschlossen werden 2 ). Alsdann tritt an die 
Stelle des Treppenpolygons Xö jetzt ein neues S£o, dessen 
Äußeres wieder aus einem lückenlosen Gebiet von Außen- 
punkten des Bereiches 53 besteht, während das Innere diesen 
letzteren enthält. Zugleich besitzt dasselbe die Eigenschaft, 
daß bei positivem, mit dem Quadrate, welches den Punkt Pp 
enthält, beginnenden Umlauf in den an S£5 nach innen an- 
liegenden Quadraten sämtliche Punkte der Menge {Pp\ und 
zwar genau in der früheren Reihenfolge auftreten. 
Andererseits können aber unter den an 5£ö nach innen 
anliegenden Quadraten noch weitere randpunktfreie vor- 
handen sein. Auch diese fügen wir noch zu dem von Xö be- 
9 Sollte einer der Punkte auf der Trennungslinie zweier 
benachbarter Zwischenquadrate liegen, so mögen diese beiden bzw. ein 
entsprechender Streifen von der Breite 2 (5 t an X'„ angeschlossen werden. 
2 ) Solche Quadrate sind sicher randpunktfrei. Denn die ent- 
gegengesetzte Annahme würde wiederum auf den bereits mehrfach vor- 
gekommenen Widerspruch gegen den vorausgesetzten Zusammenhang 
von 53 führen. 
