Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz. 
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Gleichung: ?/ = sin 2 -, etwa für 0 < | x <1, genügen. Die 
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Menge der Häufungspunkte enthält alsdann die Strecke 01 
der y- Axe, von der lediglich der eine Punkt (0,1) der Menge 
lim {P«’’} angehört. Während nun hier das zu der übrigen 
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äußeren Berandung von 23 hinzutretende besondere Konti- 
nuum nur aus einer einfachen Strecke besteht, so kann auch 
der zuerst von Herrn Brouwer 1 ) bemerkte Fall (und zwar 
beliebig oft) eintreten, daß ein solches Kontinuum, also ein 
Teil der äußeren Berandung von 23, zugleich die vollständige 
Begrenzung eines endlichen Gebietes von Außenpunkten 
des Bereiches 23 bildet. Danach braucht also das zuvor mit 8 
hezeichnete linienhafte Kontinuum die Ebene keineswegs 
nur in zwei getrennte Gebiete zu zerlegen, vielmehr kann die 
oben mit 3, bezeichnete, den Bereich 2? enthaltende Punktmenge 
aus einer beliebigen Zahl getrennter Gebiete bestehen. 
4. Wir wollen noch den Fall ins Auge fassen, daß irgend 
ein linienhaftes Kontinuum 8 die vollständige Be- 
grenzung eines Bereiches 23 bildet (was nicht ausschließt, 
daß Teile von 8 noch andere Bereiche begrenzen). Alsdann 
läßt sich 8 auch von innen und zwar durch eine Folge sich 
gegenseitig umschließender Treppenpolygone beliebig 
approximieren und zugleich wieder in eine abzählbare, 
zyklisch zusammenhängende Punktmenge und die 
Menge der zugehörigen Häufungspunkte zerlegen. 
Um dies einzusehen, denke man sich zunächst ein Qua- 
drat Q, etwa von der Seitenlänge X konstruiert, das ganz im 
Innern von 8 liegt, also vollständig aus Innenpunkten von 
23 besteht. Man bestimme dann eine natürliche Zahl m 0 so, 
daß <5 0 = — kleiner ist, als der Minimalabstand des 
m 0 
Quadrates Q von der Begrenzung 8, teile O in m\ Quadrate 
von der Seitenlänge d 0 und überziehe daran anschließend den 
') Math. Ann. 68 (1910), S. 423. 
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