Äußere Berandung und Jordanseher Kurvensatz. 
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Wie aus der vorstehenden Definition unmittelbar erkannt 
wird, fällt jede geschlossene Jordansche Kurve unter den 
in Nr. 2 des vorigen Paragraphen festgelegten Begriff einer 
zyklisch zusammenhängenden Punktmenge mit Hinzu- 
nahme ihrer Grenzpunkte, also eines linienhaften Konti- 
nuums nach Art der äußeren Berandung eines Bereiches 33. 
Diejenige Eigenschaft, die sie aus dem allgemeinen Typus solcher 
Kontinua heraushebt, besteht dann darin, daß ihre Grenz- 
punkte keine besonderen (d. h. die Punkte der abzählbaren 
zyklischen Menge nicht enthaltenden) Kontinua bilden und 
demgemäß auch keine besonderen Bereiche begrenzen können, 
daß vielmehr jede geschlossene Jordansche Kurve die 
Ebene in genau zwei getrennte Gebiete zerlegt. Dem Beweise 
dieser den Inhalt des „ Jordanschen Kurvensatzes“ bilden- 
den Aussage schicken wir zunächst zwei Hilfssätze voraus. 
2. Hilfssatz I. Eine zusammenhängende Punkt- 
menge 5)3, welche ausschließlich aus Punkten einer die 
Punkte p 0 und P verbindenden Jordanschen Kurve (5 
besteht und Punkte in beliebiger Nähe von p 0 und P 
enthält, ist nach Hinzunahrpe ihrer Häufungspunkte 
mit der Kurve 6 identisch. 
Beweis. Es sei Gl. (1) die Gleichung der Kurve 6 und 
(4) p 0 = ((p(t 0 ), yj(t 0 )), T=(cp(T), ip(T)). 
In Folge der Stetigkeit von <p(t ), xp{t) gehört dann auch jeder 
Grenzpunkt der Menge 5)3 der Kurve S an, mit anderen 
Worten, auch die aus 5)3 durch Hinzufügung der Grenzpunkte 
hervorgehende abgeschlossene Menge 5)3 besteht ausschließ- 
lich aus Punkten von ($. 
Es ist nun zu zeigen, daß auch umgekehrt jeder Punkt 
von (5 der Menge 5)3 angehört. Dies gilt zunächst ohne wei- 
teres für die Punkte p 0 und P, da sie ja auf Grund der Voraus- 
setzung Grenzpunkte der Menge 5)3 sind. 
Es bedeute ferner r einen ganz beliebigen, dem Inter- 
vall t 0 < r < T angehörigen Parameterwert, von dem noch 
nicht feststeht, daß er einen zu 5)3 gehörigen Punkt liefert, 
