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H. Kiinneth 
sionalen Mannigfaltigkeit B, so findet man die Bettische Zahl P\ 
l - ter Dimension der Produkmannigfaltigkeit C = AB aus: 
Pf-l P=l,...(» + m-l)]. (1) 
P = 0 
Dabei sind folgende Festsetzungen getroffen: 
Für jede w-dimensionale Mannigfaltigkeit ist P p = 1, wenn 
p < 0 oder p~> n. Für jede w-dimensionale zusammenhängende 
Mannigfaltigkeit ist: P 0 = 2 und, wenn sie geschlossen orien- 
tierbar ist, P n = 2, wenn sie berandet oder nicht orientierbar, 
geschlossen ist, P„= 1. Diese Festsetzungen sind wegen ihrer 
Zweckmäßigkeit für den vorliegenden Fall gemacht worden, 
ergeben sich aber auch, wenn man die formale Definition der 
Bettischen Zahlen nach der zweiten Art Poincares auf alle 
Werte von p anwendet. 
Ist C das Produkt von mehr als 2 Faktoren, C = A 1 A 2 
. . . A„-iA„, so findet man die Bettischen Zahlen von C durch 
wiederholte Anwendung von (1) aus: 
PI - 1 = 
V (K 
* 1 . & 2 — k n 
fc l + Ä 2 H h k n = k 
1) (P^ 1 , - 1) . . . (Pl - 1) (P fc \ - 1), (2) 
wobei der untere Index eines jeden P die Dimension, der obere 
die zugehörige Mannigfaltigkeit bezeichnet. 
1. Als Anwendung von (1) ergibt sich für den Fall der 
Torusfläche, dem Produkt zweier Kreise A und B, aus Po = 
Pf = P^ = Pf = 2 r 
Pi' = (Po - 1) (Pf- 1) + (Pf - 1) (Po^ - 1) + 1 = 3. 
2. Wenden wir uns nun den von Steinitz angeführten 
Beispielen von Produktmannigfaltigkeiten zu. Das eine ist die 
fünfdimensionale Mannigfaltigkeit der reellen Flächenelemente 
im projektiven dreidimensionalen Raume 9t 3 , wobei unter einem 
Flächenelement die Kombination einer Ebene mit einem auf 
ihr liegenden Punkt zu verstehen ist. Die Faktoren dieser 
