Zur topolog. Untersuchung geometr. Gebilde. 
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Mannigfaltigkeit sind die projektive Ebene 1 ); d. h. eine nicht 
orientierbare geschlossene zweidimensionale Mannigfaltigkeit, 
für welche P, = 1, und der projektive Raum flt 3 , d. h. eine 
orientierbare geschlossene, dreidimensionale Mannigfaltigkeit, 
für welche P x = P 2 = 1 ist. Für die Produktmannigfaltig- 
keit erhält man dann : 
Pi = P 2 = P 4 = P 5 = l; P 3 — 2 
3. Das zweite von Steinitz angeführte Beispiel einer Produkt- 
mannigfaltigkeit liefert die komplexe Punktmannigfaltigkeit 
einer Fläche 2. Grades und die durch die gleiche Produkt- 
mannigfaltigkeit darstellbare Mannigfaltigkeit der reellen, mit 
Richtungssinn versehenen Geraden im 9t 3 . Beide Mannigfaltig- 
keiten sind vom Typus des Produktes zweier Kugelflächen. 
Dieselbe Mannigfaltigkeit finden wir auch bei Study 2 ) in „Bei- 
trägen zur nicht-euklidischen Geometrie“. Nach Study läßt 
sich das Kontinuum aller reellen Speere im elliptischen (oder 
sphärischen) Raum überall eindeutig und stetig abbilden auf 
das Kontinuum aller reellen Paare von Punkten, die man 
2 Kugeln (des reellen euklidischen Raumes) vom Radius 1 ent- 
nehmen kann 3 ). Das Kontinuum dieser Punktpaare läßt sich 
wieder eindeutig und stetig abbilden auf das Kontinuum der 
Punkte der aus den beiden Kugeln gebildeten vierdimensionalen 
Produktmannigfaltigkeit C. In diesem Falle sind A und P 
Kugelflächen, also Pf = Pf = 1. Aus (1) ergeben sich dann 
für C die Bettischen Zahlen : 
PI = 1; Pl = 3; Pl= 1. 
Es gibt also, da PI — 1 = 2 ist, 2 Arten von geschlos- 
senen orientierbaren, unabhängigen zweidimensionalen Mannig- 
J ) Nach dem Dualitätsprinzip ist die Mannigfaltigkeit aller Flächen- 
elemente (Ebenen) durch einen Punkt X des 9t 3 gleichwertig der Mannig- 
faltigkeit aller Geraden durch X und daher durch Perspektivität gleich- 
wertig der Mannigfaltigkeit aller Punkte einer Ebene. 
2 ) American Journal of Mathematics, vol. XXIX, 1907. 
3 ) Ebenda, S. 121. 
