Zur topolog. Untersuchung geometr. Gebilde. 
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Nach (2) ergibt sich für die Bettischen Zahlen von C: 
5. Eine Verallgemeinerung der Produktmannigfaltigkeit 
zweier Kugelflächen, d. h. also zweier zweidimensionaler sphä- 
rischer Mannigfaltigkeiten auf die Produktmannigfaltigkeiten 
zweier sphärischer Mannigfaltigkeiten höherer Dimension findet 
sich bei Poincare in seiner ersten Arbeit über „ Analysis situs“ 1 ). 
Er bespricht dort als 8. Beispiel eine Mannigfaltigkeit W von 
(2 q — 2) Dimensionen im 2 g-dimensionalen Raum, die durch 
folgende Gleichungen in den inhomogenen Koordinaten y t , #,• 
gegeben ist: 
y\ -4- y\ + • • • -f y\ — l , 
4 + • • • + 4 = 1 • 
(a) 
(b) 
Diese Mannigfaltigkeit ist vom Typus eines Produktes 
aus zwei (q — 1) dimensionalen sphärischen Mannigfaltigkeiten. 
Betrachtet man nämlich (a) und (b) als die Gleichungen je 
einer sphärischen (q — 1) dimensionalen Mannigfaltigkeit A bzw. 
B im (^-dimensionalen Raum, so entspricht jedem Punktpaar 
aus A und B, wobei immer ein Punkt des Paares aus A, der 
andere aus B zu entnehmen ist, umkehrbar eindeutig ein Punkt 
von W. Es ist also W gleichwertig dem Produkte A ■ B , und 
da für jede ( q — 1) dimensionale sphärische Mannigfaltigkeit 
P p = 1, wenn 0 <p <q — 1, und P 0 = P t ~i = 2, so ergibt 
sich für die Bettischen Zahlen von W aus (l) 2 ): 
P p = 1 für 0 < p < q — 1 und q — 1 <.p < 2 q — 2; P q - 1 = 3. 
Zwei voneinander unabhängige geschlossene, zweiseitige, 
(q — 1) dimensionale Mannigfaltigkeiten, die nicht homolog Null 
sind, werden dabei erhalten durch das Produkt von A mit 
einem Punkte von B , bzw. durch das Produkt von B mit 
einem Punkte von A. 
B Journal de l’ecole polyt., 2. ser., cah. 1, S. 88. 
2 ) Poincare kommt zu dem gleichen Ergebnis auf anderem Wege, 
a. a. 0., S. 96 f. 
Sitzungsb. d. matli.-phys. KI. Jalirg. 1922. 
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