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H. Künneth 
6. Es seien jetzt einige Mannigfaltigkeiten betrachtet, wie 
sie bei W. v. Dyck in den „Beiträgen zur Analysis situs“ auf- 
treten 1 ). Dyck hat dort ein Verfahren gezeigt, wie man jede, 
im reellen projektiven 9t (i +i gelegene w-dimensionale Mannig- 
O 
faltigkeit 2. Grades Mn, die bei Verwendung homogener Koor- 
dinaten gegeben sei durch die Gleichung: 
2.2, .22 2 2 2 « 
*1 + X 2 H + X v — Xy+l — X v + 2 X n + i — X„ + o = 0 
[y < n -j- 1] 
ein = eindeutig abbilden kann auf eine Mannigfaltigkeit N„, 
die gegeben ist durch : 
( n-|- 1 \ 2 V 
Efn— a 2 fü + iDl?<0 a > 2 
»=i / »=i 
(in homogenen Koordinaten im 3t„). 
Die durch F<^0 bestimmte berandete Mannigfaltigkeit 
sei mit N„, ihre durch die Gleichung F = 0 gegebene Be- 
randung mit Rn - i bezeichnet. Die Bettischen Zahlen von N„ 
und R n - 1 sollen berechnet werden. Es sei noch folgendes 
bemerkt: Für die im projektiven Sinn im Unendlichen ge- 
Q 
schlossene würde man eine ein — eindeutige Abbildung 
erhalten durch eine Mannigfaltigkeit N«, die aus N„ entsteht, 
wenn man die Punkte der Berandung R n -i, die den uneigent- 
lichen Punkten von M„ entsprechen, in bestimmter Weise paar- 
weise als inzident betrachtet 2 ). 
Die Mannigfaltigkeiten N„ und R„—i sind nun, wie die 
Dyckschen Betrachtungen zeigen, darstellbar als Produktmannig- 
faltigkeiten, und zwar ist N n äquivalent dem Produkt einer 
(r — 1) dimensionalen sphärischen Mannigfaltigkeit 3 ) S,.-\ mit 
einer ( n — v -p 1) dimensionalen Elementar- Mannigfaltigkeit 
J ) Mathematische Annalen, Bd. 37, S. 284 ff. und S. 308 ff. 
2 ) Dyck, a. a. 0., S. 309. 
3 ) Die sphärische 0- dimensionale Mannigfaltigkeit ist dabei das 
Punktepaar, die geschlossene zusammenhängende O-dimensionale Man- 
nigfaltigkeit der einzelne Punkt. 
