Zar topolog. Untersuchung' geometr. Gebilde. 
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E n - v -\. i, und R n -i ist äquivalent dem Produkte von £ v _i 
mit der sphärischen Berandung S n ~ v von E n - r + x . Auch für 
v = n + 1 läßt sich eine entsprechende Produktmannigfaltig- 
keit N n bilden. Eine R n -i ist in diesem Falle nicht vor- 
handen. N„ ist dann identisch mit 31,,. 
Für die Bettischen Zahlen von N n erhält man nach (1) 
Pi = 1 , für lA'-v — 1; P v - 1 = 2 
und für die Bettischen Zahlen von R n -\'- 
_j | 
wenn v 4= — — — : Pi — 1 , für Ipv — 1 , n~v; P,. _i = P„_ v = 2, 
(L 
» + 1 7J , «. 7+ *-l T> n ~ 1 Q 
wenn v = — -- — : Pi = 1 , für 1 4 1 — - ; P — = 3. 
U U Li 
Dieselbe Mannigfaltigkeit R„ _ i erhält man nach Dyck 
auch als Produkt einer sphärischen ( v — 1) dimensionalen Mannig- 
faltigkeit Sv-i mit einer linearen Mannigfaltigkeit (n — v) ter 
Dimension P„_ v , die sich ins Unendliche erstreckt. Faßt man 
aber alle unendlich fernen Elemente zu einem einzigen Punkt 
zusammen, so ist L„- y äquivalent einer ( n — v) dimensionalen 
sphärischen Mannigfaltigkeit und man erhält dieselbe 
Bildung von R n -i, wie oben. 
Die Gesamtheit der durch F 0 bestimmten Punkte des 
sphärischen sei bezeichnet mit N „ . Auch N,[ ist vom Typus 
einer Produktmannigfaltigkeit und zwar äquivalent dem Pro- 
dukte von S' n - V mit der Elementarmannigfaltigkeit E',,, deren 
Berandung Sl-i ist. 
Die Bettischen Zahlen von N'„ sind demnach: 
Pi = 1 , für l 4= n — v ; P n _ v = 2. 
Für N n , N. ,1 und R„- i wurden von Dyck die Charakteri- 
stiken bestimmt 1 ). Benützt man zu ihrer Bestimmung die ver- 
allgemeinerte Eulersche Polyederformel, die sich unter Berück- 
sichtigung der Festsetzungen, P 0 und P„ betreffend, darstellen 
läßt durch : 
l ) A. a. 0., S. 288 und S. 297. 
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