Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex. 
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§ 1. Existenz der Mengen mit einzigem Ordnungsindex n. 
Wir wollen zunächst den Beweis für die Existenz der 
ebenen Mengen mit einzigem Ordnungsindex n erbringen, wenn 
n irgend eine endliche l ) Anzahl >2 ist. Für n— 1 ist die 
Existenz einer derartigen Menge selbstverständlich unmöglich 
(enthält nämlich eine solche Menge zwei Punkte, so trifft deren 
Verbindungsgerade die Menge bereits in mindestens 2 Punkten). 
Wir betrachten also den Fall n > 1 : Nach dem Wohlordnungs- 
satz existiert eine Wohlordnung der Menge aller Geraden g 
unserer Ebene @ und zwar existiert speziell eine Wohlordnung 
dieser Menge von der Form 
(1) 9i > 5^2 > 9$ > • • • i • • • a <C i2 c , 
wobei Q c die kleinste Ordnungszahl ist, die der Mächtigkeit c 
des Kontinuums entspricht, also die Anfangszahl der c zuge- 
hörigen Zahlenklasse Z(c). Ferner existiert eine ebensolche 
wohlgeordnete Reihe der Punkte P von @, nämlich 
(2) P,, P 2 , P 3 , ..., P a , ... a<Q c . 
Die ersten n Punkte von (2), die auf g x liegen, seien mit 
(3) Ql Ql . . ., Q n x 
bezeichnet. Ferner nehmen wir die ersten ( n — 1) bzw. n Punkte 
von (2), die auf g 2 , aber nicht auf </, liegen, je nachdem g 2 
durch einen der Punkte (3) hindurchgeht oder nicht; diese 
Punkte seien: 
(4) Ql, Ql ..., Q?~l («). 
Die Gesamtheit der Verbindungsgeraden aller Punkte von 
(3) und (4) sei mit P 3 bezeichnet 2 ). g 3 ist entweder eine Ge- 
rade von P 3 oder nicht, und in letzterem Fall kann g 3 ent- 
weder einen Punkt von (3), (4) enthalten oder nicht; ent- 
sprechend diesen Fällen nehme man die ersten ( n — 2) oder 
Ü Der Beweis ist in gleicher Weise auch gütig, wenn n die Mäch- 
tigkeit a der abzahlbaren Mengen bedeutet. 
2 ) Auch (j\ und g 2 gehören zu _T 3 . 
