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A. Rosenthal 
(von Elementen P), die mit jedem Gebilde g von E (jenan 
n Elemente P gemeinsam haben. 
In allen oben erwähnten Spezialfällen ist r = g = g' = c. 
Sind jedoch diese Mächtigkeiten verschieden, so hat man hei 
(1) a <j ü g und bei (2) a<ß t zu wählen, wobei £? g bzw. Q x 
die den Mächtigkeiten g bzw. r zugehörenden Anfangszahlen 
sind; und an Stelle von (8) tritt, da N^g^g 1 ist, 
(8) (»K)*<g\ 
Wir erwähnen noch eine nach etwas anderer Richtung 
gehende Verallgemeinerung: Man kann statt der Geraden g 
z. B. Ebenen @ nehmen; dann ist © nicht durch irgend drei 
ihrer Punkte bestimmt, sondern nur durch je drei ihrer Punkte, 
die nicht auf einer Geraden liegen. Man kann auch hiefür 
den gleichen Beweis benutzen, wenn man die vorhin ange- 
gebene Modifikation, die Punkte Q a nicht gleichzeitig, sondern 
nacheinander einzuführen, an wendet; sobald man nämlich in 
©, die Punkte so annimmt, daß sie zu je dreien nicht auf 
einer Geraden liegen, dann werden von selbst auch in den fol- 
genden Ebenen keine drei Punkte Q auf einer Geraden liegen 
und man kommt auch hier für w > 3 zur Existenz von Punkt- 
mengen, die mit jeder Ebene genau n Punkte gemeinsam haben. 
Auch dies könnte man noch verschiedentlich weiter verallge- 
meinern, insbesondere auf Systeme von Flächen. — 
Wir haben bisher nur die Existenz der Mengen mit ein- 
zigem Ordnungsindex n (und ihre unmittelbaren Verallgemei- 
nerungen) nachgewiesen. Nun noch ein Wort über die Mengen 
von n-ter Ordnung mit vorgeschriebener Verteilung der Ordnungs- 
indizes. Irgend eine Gerade trifft ein solches Gebilde in höch- 
stens n Punkten. Man gebe sich eine ganz beliebige, n ent- 
haltende Teilmenge 9? der ganzen Zahlen 0 bis n; dann exi- 
stieren dazu stets Mengen Q, so daß die Gesamtheit der Ord- 
nungsindizes von £} genau mit 91 übereinstimmt 1 ). Man braucht 
l ) Auch hier kann n gleich der Mächtigkeit a der abzahlbaren 
Mengen sein. Und dabei sind noch die zwei Fälle möglich: 91 enthält 
» = n;.oder dies ist nicht der Fall, aber 91 enthält unendlich viele 
ganze Zahlen n. 
