über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex. 
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Beweis: Es sei ÜSJij irgend eine abgeschlossene Teilmenge 
von Nach Voraussetzung wird von jeder Geraden der 
Richtung x in höchstens abzahlbar vielen Punkten, also in 
einer Menge vom linearen Mate 0 getroffen; deshalb muß s Hi, 
auch vom ebenen Maß 0 sein 1 ). Wenn nun aber 'äft von posi- 
tivem inneren (ebenen) Maß wäre, dann müßte iDi eine abge- 
schlossene Teilmenge von positivem Maß enthalten, was 
unmöglich ist. 
Die spezielleren Mengen mit einzigem Ordnungsindex n 
können, wie wir vorhin gesehen haben, vom Maß 0 sein. Es 
kann aber auch der andere noch mögliche Fall Vorkommen, 
daß sie nicht meßbar, aber vom inneren Maß Null sind; man 
kann nämlich, um dies zu erreichen, ähnlich verfahren, wie 
dies Herr W. Sierpihski in seiner schönen Note „Sur un Pro- 
bleme concernant les ensembles mesurables superficiellement“ 2 ) 
tut 3 ), mit der überhaupt die Betrachtungen unserer beiden 
ersten Paragraphen sachlich und methodisch mannigfache Be- 
rührungspunkte haben. 
§ 3. Beweis der Unmöglichkeit, dass ebene Mengen mit einzigem 
Ordnungsindex 2 ein Kontinuum enthalten können. 
Ausgehend von allereinfachsten Kurven waren wir zu 
unserer Fragestellung und zu den von uns betrachteten Ge- 
bilden gekommen. Es wird uns daher vor allem interessieren, 
in wie weit unsere Gebilde Ähnlichkeit mit Kurven haben, 
insbesondere ob und wann sie Kontinua enthalten können. 
Wir werden in dieser Hinsicht vor allem die ebenen Gebilde 
2. Ordnung betrachten, in diesem Paragraphen zunächst die 
ebenen Mengen mit einzigem Ordnungsindex 2. 
1 ) Dieser Schluß ist nur ein Spezialfall der Formel: 
J '§ (p[x,y)dxdy=§(§(p(x,y)dx)dy, wenn <p (x, y) = | * 
ist, wobei M t als im Borelschen Sinne meßbar vorausgesetzt wird. 
2 ) W. Sierpinski, Fundamenta mathematicae I (1920), p. 112/15. 
3 ) Nur müßte man hier die Reihe (1) mit zu Grunde legen. 
