Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex. 
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menge (©, -j- © 3 ) ein Kontinuum, das A und B enthält und 
ganz in © enthalten ist. W egen der Irreduzibilkjät von (5 
zwischen A und B muh also 6 mit (©j -j- © 3 ) identisch sein; 
dies ist aber unmöglich, da (6, -f- © 3 ) in © liegt, während © 
den außerhalb © gelegenen Punkt C enthält. Also ist die 
gemachte Annahme, daß P der einzige Punkt von (© • 3t) ist, 
ausgeschlossen; d. h. © muß mit 3t mindestens zwei Punkte 
gemeinsam haben, q. e. d. 
Auf Grund des vorstehenden Hilfssatzes beweisen wir nun 
den folgenden Satz, der die zu Beginn dieses Paragraphen ge- 
stellte Frage beantwortet: 
Satz: Eine ebene Menge 93i mit einzigem Ordnungsindex 2 
kann kein Kontinuum enthalten. 
Beweis: Angenommen, es enthielte 9Jt ein beschränktes 1 ) 
Kontinuum Ä; dann ist in $ ein zwischen zwei seiner Punkte A 
und B irreduzibles Kontinuum © enthalten. Wir bilden nun 
den kleinsten konvexen Bereich 33, dem © angehört. Auf der 
Begrenzung von 33 liegt mindestens ein von A und B ver- 
schiedener Punkt 0 von ©. Es sei g eine durch C gehende 
Stützgerade von iß. Auf g liegt dann (da 93i vom einzigen 
Ordnungsindex 2 ist) noch ein zweiter, von C verschiedener 
Punkt C' von 93i. Durch C 1 legen wir eine zu g hinreichend 
benachbarte Gerade g‘, welche A und B von C trennt. Be- 
zeichnen wir diejenige von g' bestimmte Halbebene, die A und 
B enthält, mit ®, so zeigt der vorstehende Hilfssatz, daß g‘ 
von © in mindestens zwei Punkten getroffen wird, g 1 enthält 
daher mindestens drei Punkte von 93i, im Widerspruch zur 
vorausgesetzten 2. Ordnung von 931; also ist die Annahme, 
931 enthalte ein Kontinuum, unmöglich, q. e. d. 2 ) 
Der vorstehende Satz gilt sicherlich nicht mehr für Mengen 
mit einzigem Ordnungsindex n, wenn n > 4 ist; d. h. für n > 4 
ß Wir können $ gleich als beschränkt voraussetzen; denn in der 
Tat enthält jedes beliebige Kontinuum beschränkte Teilkontinua. 
2 ) Zwei weitere Beweise dieses Satzes werden sich am Schluß von 
§ 4 ergeben. 
