Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex. 
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Ordnungsindizes sein, damit 2)t Kontinua enthalten kann ? Und 
ferner: Wie sind diese Kontinua beschaffen? 
Wir behandeln die zweite Frage zuerst und beweisen den 
folgenden 
Satz: Jedes ebene beschränkte Kontinuum St von 2. Ordnung 
ist eine konvexe Kurve. 
Beiveis: Unter den Komplementärgebieten, die Ä in der 
Ebene bestimmt, befindet sich genau ein nicht beschränktes 
Gebiet 5p. Wir betrachten zunächst den Fall, wo auch min- 
destens ein beschränktes Komplementärgebiet © von St vorhan- 
den ist. [Man sieht übrigens sofort, daß in diesem Fall auch 
nur ein einziges beschränktes Komplementärgebiet ® vorhanden 
sein kann.] Sind nun Pj und P 2 irgend zwei (innere) Punkte 
von ®, so muß ihre Verbindungsgerade den Rand 9t von @ 
in genau 2 Punkten 9t t und 9t 2 treffen und die (offene) Strecke 
(P, R 2 ) gehört ganz zu @, während ihre beiden Verlängerungen 
in 5p liegen; also gehört erst recht die Strecke (P 1 P 2 ) zu © 
und deshalb ist ® ein konvexes Gebiet. Sein Rand 9t ist daher 
eine geschlossene konvexe Kurve, die ganz aus Punkten von 
$ besteht. Außerdem muß aber 5? mit 9t zusammenfallen ; 
denn enthielte St noch einen weiteren, nicht zu 9t gehörenden 
Punkt Q, dann müßte die Verbindungsgei'ade von Q mit irgend 
einem (inneren) Punkt P von ® den Rand 9t in zwei ver- 
schiedenen Punkten treffen, im Widerspruch mit der voraus- 
gesetzten 2. Ordnung von 5?. Also ist in diesem Fall 5t) eine 
geschlossene konvexe Kurve. 
Wir betrachten nun den anderen Fall , daß 5? kein be- 
schränktes Komplementärgebiet bestimmt. Es seien A und B 
zwei beliebige Punkte von 5?; g sei ihre Verbindungsgerade, 
mit s werde die offene Strecke ( A B) bezeichnet. 5t) enthält 
ein zwischen A und B irreduzibles Kontinuum ©. Vereinigt 
man © mit s, so teilt (© -\- s) die Ebene in genau 2 Gebiete, 
die beide von dem ganzen Gebilde (© -j- s) begrenzt werden J ). 
9 Nach A. Rosenthal, Sitzungsber. Bayer. Akad. d. Wiss. 1919, 
p. 102 (Satz 6). 
Sitzungsb. d. math.-pbys. Kl. Jabrg. 1922. 
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