Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex. 
239 
an 6; dann enthält g nur den Punkt C von (J, muß also, 
wenn der Ordnungsindex 1 nicht vorkommt, noch einen zweiten 
Punkt C‘ von Tft tragen. Man lege durch C‘ eine zu g hin- 
reichend benachbarte Gerade g\ welche (5 in zwei Punkten 
schneidet. Dann enthielte g‘ drei Punkte von üft, im Wider- 
spruch mit der 2. Ordnung. — Auch hier muß der Ordnungs- 
index 1 auf unendlich vielen Geraden von der Mächtigkeit c auf- 
treten ; da der vorstehende Schluß für die Stützgeraden sämt- 
licher von A und B verschiedener Punkte C gilt. 
Die beiden vorstehenden Aussagen über die Ordnungs- 
indizes 0 und 1 liefern zugleich zwei neue Beiveise des Satzes 
von § 3, daß nämlich eine Menge mit einzigem Ordnungs- 
index 2 kein Kontinuum enthalten kann 1 ). 
Fassen wir alle diese Bemerkungen zusammen, so erhalten 
wir den 
Satz: Eine Menge 2. Ordnung kann nur dann ein Konti- 
nuum enthalten, wenn alle drei Ordnungsindizes 0, 1, 2 vor- 
handen sind und zwar jeder von ihnen in der Mächtigkeit c. 
Übrigens kann eine Menge TO 2. Ordnung mehrere ge- 
trennte Kontinua, d. h. konvexe Bögen, enthalten. Denn man 
kann mehrere konvexe Bögen so legen, daß sie paarweise zu- 
einander in den erlaubten Bereichen © 2 und @ 3 liegen (nach 
der obigen Bezeichnungsweise) und von keiner Geraden in mehr 
als 2 Punkten getroffen werden. 
Ist in TO eine geschlossene konvexe Kurve enthalten, so 
muß TO mit diesem Oval identisch sein. — Bezeichnen wir 
ferner mit „Halboval 11 einen (nicht geschlossenen) konvexen 
Bogen mit parallelen Tangenten in den Endpunkten. Sind in 
■Ui zwei getrennt liegende Halbovale O' und O" vorhanden, so 
müssen die zu O' und O" gehörenden Gebiete ® 2 einander 
gegenseitig enthalten, was nur möglich ist, wenn £)' und O" 
*) Der zweite dieser neuen Beweise benutzt übrigens denselben 
Grundgedanken wie der Beweis von § 3. — Zugleich ist damit gezeigt, 
daß eine Menge 95t, die auf jeder Geraden, die 5Jt trifft, genau zwei Punkte 
besitzt, kein Kontinuum enthalten kann. 
