Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc. 
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§ 1. Gemischte Pfaffsche Invarianten, Bogenelemente, Flächen- 
elemente und Differentialinvarianten von G r . 
Mit G r werde eine r-gliedrige ebene Transformations- 
gruppe bezeichnet, die auf zwei Kurvenelemente 
x,y,y l , ■ ■ y a -2 und £, t; , t) 1? . . \) ß -2 
mit der Koordinatensumme a ß — r transitiv einwirkt 1 ), so 
daß diese Elemente, die wir kurz e a -2 und — 2 nennen wollen, 
gegenüber G r keine Invariante besitzen. Dann gibt es zwei 
invariante Pfaffsche Ausdrücke 
n i — 99, (e„_2, e^-2) dx -p cp 2 ( e a -2 , (ß-2) dy, 
2 Vfi ißa — 2) — 2) dx -p (ßu — 2? tß — 2) dy 
mit nicht verschwindender Determinante. Dieser den Kennern 
der Lieschen Theorien geläufige Satz gehört zu den Grund- 
wahrheiten, von denen man sich ohne größere Vorkenntnisse 
direkt überzeugen kann. Im vorliegenden Falle würde ich 
dazu folgende elementare Überlegung empfehlen. 
Man gehe aus von der endlichen Darstellung der Gruppe G r 
und stelle in der durch die Differentialrechnung bekannten 
Weise fest, wie G r auf die beiden Elemente e a —2 und e^_ 2 wirkt. 
Die Gleichungen der so erweiterten Gruppe mögen lauten 
X — F(x, y, a, , . . ., a r ), 
Y = G(x, y, a 1 , . . ., a,) t 
Y a — 2 G a — 2 ißo, y>y\i • • • 1 2/« — 2 1 ® 1 1 • • • » us. ) 1 
L F (j. - , t), öj , . . ., Q&,-) , 
d = &(?» . . ., a r ), 
i)ß — 2 Gß—o(X, i • • •) tyß — 2) 1 • • •) ®i - ) • 
x ) Wir könnten ebensogut drei oder mehr Kurvenelemente mit der 
Koordinatensumme r zum Ausgangspunkt nehmen, vorausgesetzt, daß 
sie keine Invariante besitzen. Die Ableitungen bezeichnen wir der Be- 
quemlichkeit halber durch untere Indizes. 
