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G. Kowalewski 
Jetzt wollen wir noch eine neue Erweiterung der Gruppe 
vornehmen, indem wir darauf achten, wie die Differentiale dx, dy 
bei ihr transformiert werden, d. h. wir fügen zu den obigen 
Gleichungen noch die folgenden : 
(2) 
dX = 
dY = 
dF 
dX 
dx -J- 
dG 
dX 
dx -f- 
dF 
dy 
d G 
3 y 
dy, 
dy. 
Da nach Voraussetzung a-\-ß — r ist und die Elemente 
e a —i und tß -2 keine Invariante besitzen sollen, so kann das 
System ( 1 ) nach den Parametern a, , . . a r aufgelöst werden, 
wodurch diese als Funktionen von e a -2, C/j-2, E a - 2 , Qtß-? 
erscheinen. Setzen wir die gewonnenen Ausdrücke in die Glei- 
chungen ( 2 ) ein, so gehen diese über in 
(2') 
{ dX = <Pj(e a _o, E a —?, tß- 2, Qzß-2)dx + <p 2 (e a -? , E a -o , iß -2, @/?-2 )dy, 
\ d Y =tp 1 (e„_ 2 , E a — 0 1 e /? _ 2 , & ß -i)dx + y> 2 {e a - 2 , E a - 2 , tß-?, <5^—2 )dy. 
Wenn wir nun das System ( 1 ) symbolisch in der Form 
{E a -<>, Qß-o) = (ßa-2, iß— 2) S a 
schreiben und 
(fa-2, Zß—j) St, — (e‘ a -2, Sfi-o) 
setzen, wobei S b ebenso wie S a eine Transformation der Gruppe G r 
bedeutet, so wird wegen der Gruppeneigenschaft 
(E a - 2, GjS— 2) = (e‘ a — 2, iß~?) S b 1 S a = (cä-2, C/?— 2) S c 
sein. Die Systeme ( 1 ), ( 2 ) und ( 2 ') bleiben also bestehen, wenn 
man x, y, . . ., J / a _ 2 und £, t), . . ., t)ß -2 mit Strichen versieht 
und die Parameter a, , . . ., a r durch c x , . . ., c r ersetzt. Die 
rechten Seiten der Gleichungen ( 2 '), wo die Parameter ganz 
fehlen, verhalten sich also invariant, wenn man E a ~ 2, @£-2 
ungeändert läßt und auf x, y, ... und j, tj, . . . die Trans- 
formation S b an wendet. Denkt man sich E a -2, @/j-2 irgend- 
wie fixiert, so entstehen zwei invariante Pfaffsche Ausdrücke 
77 j und 77 2 von der behaupteten Form. Die Determinante 
