Die Verwertung gern, invar. Fläehenelemente etc. 
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cp 1 y > 2 — 9 Y*/ ; i a ^ s Funktionaldeterminante von X, Y nach 
x, y von Null verschieden. 
Man kann 77, und 77 2 als Invarianten des Elements 
und zweier unendlich benachbarter Elemente e a -2 auffassen. 
Nimmt man diese in vereinigter Lage an, setzt man also 
cly = y l dx, so verwandeln sich 77, und 77 2 in gemischte 
invariante Bogenelen ente, weil die vereinigte Lage zweier 
Elemente eine invariante Beziehung ist. Wir wollen ausdrück- 
lich a > 2 annehmen. Dann haben diese Bogenelemente die Form 
(3) da — co (e a _ 2 , e^) dx . 
Es ist ausgeschlossen, daß in beiden Fällen cd identisch 
verschwindet, weil die Gleichungen 
<Pi + *7 <P2 — Vi + Vx y>2 = 0 
nicht zusammen bestehen können. Andererseits würde das Ver- 
hältnis der beiden cd eine Invariante von e a -2 und e ^-2 sein, 
wenn es nicht konstant wäre. Da nach Voraussetzung der 
erstere Fall ausgeschlossen ist, so folgt, daß sich die beiden 
Bogenelemente nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, 
so daß nur von einem Bogenelement der obigen Form zu 
reden sein wird. 
Ebenso einfach erkennt man die Existenz eines gemischten 
invarianten Flächenelements. Man muß zu diesem Zweck 
zwei verschiedene zu e a ~2 benachbarte Elemente in Betracht 
ziehen, also mit zwei Reihen von Differentialen operieren, den 
Differentialen d und den Differentialen d‘. Die Invarianz von 
77, , 77 2 und 
77; = 99 , (e a _ 2 , t ß - 2 ) d'x -f cp 2 (e n - 2 , t ß -i) d'y , 
772 — y, («■-«» fy- 2 ) d'x + y> 2 (e«_ 2 , t ß -i) d'y 
bringt es mit sich, daß auch 
Tly n 2 cp x cp 2 dx dy 
77; 772 j V 1 V 2 d'x d'y 
eine Invariante ist. Es gibt also einen invarianten Ausdruck 
von der Form 
