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G. Kowalewski 
(4) _Q(e a _ 2 , P/j— 2 ) ( dxd'y — dyd'x), 
und zwar bis auf einen konstanten Faktor nur einen. Er stellt 
das invariante gemischte Flächenelement dar, von dem wir in 
der Überschrift sprachen. 
Sind von der Gruppe G r nur die infinitesimalen Trans- 
formationen bekannt, so lassen sich, wie man weih, Bogen- 
element und Flächenelement durch Quadraturen finden. Ist 
Af=£p-j-i]q eine der r infinitesimalen Grundtransforma- 
tionen, 2t f dasselbe Symbol in den deutschen Veränderlichen, 
bezeichnet man ferner die Erweiterung nach Lies Weise durch 
obere Indizes und setzt zur Abkürzung 
Wf= 
so genügt Q den Differentialgleichungen 
(5) WQ + Qtf x + r, y ) = 0 
und co den Differentialgleichungen 
(6) W(o + u) (£* -f y x | y ) = 0. 
Aus (5) läßt sich d log Q, aus (6) d log co gewinnen, und 
log ß, log <x> ergeben sich dann durch Quadraturen. 
Wir kehren noch einmal zu dem System (1) zurück und 
wollen es, anstatt durch die Gleichungen (2), nunmehr durch 
die Gleichung 
/ 3 (jr ri — 2 
V ääT’ 
3 Ga- 2 . 
+ y '”i -T + " 
(d F , $F\ 
U* + y ' zy ) 
+ Va-l 
3 G a - 
dy, 
erweitern, die angibt, wie sich die (a — 1) te Ableitung von Y 
nach X durch die Elemente e a -\ und tß -2 ausdrückt. Setzen 
wir hier für a x , . . ., a, die aus (1) gewonnenen Werte ein, 
so nimmt die obige Gleichung folgende Gestalt an 
Ya - 1 = 9?(e a _o, -E' a _2, Cß —2 , 6/5-2) + wipa-ii E a - 2 , tß- 2 , &ß-o) 1 ?/a- 1- 
Dabei halten wir an der Annahme a > 2 fest. Es zeigt 
sich nun ähnlich wie bei der Herleitung der beiden Pfaffsclien 
