Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc. 
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eingesetzt. Diese erscheint dann abhängig von den ß ersten 
J und von e r _i. Damit ist die niedrigste gewöhnliche Dif- 
ferentialinvariante von Gr r gewonnen 1 ). In derselben Weise 
läßt sich das gemischte Bogenelement (Za in ein gewöhnliches 
Bogenelement von der Form ca (e r _2 )dx und das gemischte 
Flächenelement in ein gewöhnliches von der Form Q (e r 2) 
(dx d'y — dy d'x ) verwandeln. 
Wie bereits oben erwähnt wurde, übertragen sich unsere 
Betrachtungen ohne weiteres auf gemischte Invarianten, an 
denen mehr als zwei Elemente beteiligt sind, wobei die Koor- 
dinatensumme dieser Elemente gleich r sein muß. Auch dürfen 
die Elemente gegenüber Cr r keine Invarianten besitzen. Natür- 
lich muß r oberhalb einer gewissen Grenze liegen, wenn man 
diese Methode zur Berechnung gewöhnlicher Differentialinva- 
rianten durch die gemischten überhaupt anwenden will. Man 
kann es gewöhnlich einrichten, daß die beteiligten Elemente 
alle von nullter oder erster und wenigstens eins wirklich von 
erster Ordnung sind. Der Vorteil dieses Verfahrens ist dann, 
daß man die Gruppe nur auf die erste Ordnung zu erweitern 
braucht. Hat man das Flächenelement 
i 2 (e,, tß~2, . . .) ( dx d'y — dy d'x) 
und das Bogenelement 
do ~ co (e ,, f/j-2, • • •) dx 
bestimmt, so läßt sich di'' Berechnung der Differentialinva- 
rianten ohne jede weitere Integration auf folgende Weise er- 
ledigen. Es ist klar, daß auch 
bS = <o(c,, eß — 2 » . • •)*>£ 
ein invariantes Bogenelement sein wird. Dabei sind die durch 
Punkte angedeuteten Elemente dieselben geblieben. Nur die 
lateinischen und deutschen Buchstaben haben ihre Rollen ge- 
b Die Größen J, J it . . ., Jß_ 1 spielen hier die Rolle von Kon- 
stanten. Die Methode gilt auch noch in dem oben erwähnten Ausnahme- 
fall. Wir lassen ihn nur mit Rücksicht auf die bequemere Darstellung 
bei Seite. 
Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922. 
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