Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc. 
251 
§ 3. Beziehungen zwischen gemischten Flächenelementen. Bogen- 
elementen und Differentialinvarianten. 
Aus dem Erweiterungsgesetz der infinitesimalen Transfor- 
mationen läßt sich entnehmen, daß die in § 2 mit M(e a -o) 
bezeichnete Größe (a > 2) den Wert 
+ Vu — a (£r + V\ £//) 
hat. Vergleicht man nun die Differentialgleichungen (8) mit 
(5) und (6), so ergibt sich, da es bei ip auf einen konstanten 
Faktor nicht ankommt, 
(10) ip = ü (o~ a . 
Um die gemischte Differentialinvariante J = cp -f- xp y a -\ 
zu finden, hat man also noch mit Hilfe von (9) die Funktion cp 
zu ermitteln, d. h. ein vollständiges Differential zu integrieren. 
Obwohl wir am Schlüsse von § 2 eine andere Methode kennen 
gelernt haben, die nur die Berechnung eines gemischten Flächen- 
elements und Bogenelements verlangt, ist doch manchmal auch 
das direkte Verfahren zur Bestimmung von J bequem. Handelt 
es sich z. B. um eine projektive Gruppe und hat man die 
Fundamentalelemente e a _ 2 , tß— 2 , ... so gewählt, daß sie alle 
von nullter und erster Ordnung sind, e „_2 aber von erster 
Ordnung, so wird L — 0 sein, wOl die Gruppe die Differential- 
gleichung y 2 — 0 invariant läßt. Die Differentialgleichungen, 
aus denen sich cp bestimmt, lassen dann erkennen, daß cp eine 
Konstante ist, die man ohne weiteres gleich Null setzen darf, 
so daß die Invariante J die Form 
f/S — 2 , • • •) tu , ?/?— 2, • • •) 
annimmt. 
Es besteht auch zwischen dem gemischten Bogenelement 
und dem gemischten Flächenelement ein inniger Zusammen- 
hang. Das aus den Gleichungen (5) berechnete Differential von 
log Q läßt erkennen , welches die höchste in Q auftretende 
Ableitung y„ ist. Wir stellen uns jetzt auf den allgemeinen 
Standpunkt, denken uns also die Fundamentalelemente e a _ 2 , 
e^- 2 , • • . nicht ausschließlich als Punkte und Linienelemente. 
