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Abschätzung von Funktionen grosser Zahlen. 
Von Georg Faber. 
Vorgelegt in der Sitzung am 4. November 1922. 
Den Anlaß zu der folgenden Abhandlung gab das Be- 
streben, die Entwickelbarkeit gegebener Funktionen (sowohl 
einer komplexen wie insbesondere auch einer reellen Veränder- 
lichen) zu untersuchen , welche nach Art der Fourierschen 
Reihen gebildet sind und nach gewissen Polynomen, insbe- 
sondere nach Hermiteschen U„(x) und nach Laguerreschen 
L n (x) fortschreiten. Beide Arten Polynome sind Grenzfälle 
der Legendreschen: 
1 ) 
X n (x) = 
_ 1 _ 
2 "n\ 
d n (x 2 — 1)" 
dx n 
die nach Legendreschen Polynomen zu entwickelnde Funktion 
hat man als im Intervalle — 1 , -{— 1 definiert anzusehen; ver- 
hält sie sich außerdem in allen Punkten dieses Intervalls, auch 
in den Endpunkten regulär, so konvergiert die Entwickelung 
im Innern einer Ellipse, deren Brennpunkte ± 1 sind und auf 
der mindestens eine singuläre Stelle der Funktion liegt. Bei 
den Hermiteschen Polynomen 
2 ) 
x2 
U n (x) = e 2 
_ x2 
d"e 2 
dx n 
ist das Intervall — 1, + 1 auf — oo, -f- oo ausgedehnt, wobei 
die konfokalen Ellipsen in Parallelenpaare zu beiden Seiten 
B Hermite, C. R. 58 (1864), S. 93. — Laguerre, Bull, de la 
Soc. math. de France 7 (1379) = Oeuvres I, S. 428. Beide Benennungen 
sind insofern ungerechtfertigt, als beide Arten Polynome schon vorher 
von Tschebyscheff untersucht worden sind: Bull, phys.-math. de l’Acad. 
de St. Petersbourg 1 (1859) = Oeuvres I, S. 501. 
