Abschätzung von Funktionen großer Zahlen. 
287 
§ I. Auseinandersetzung des Verfahrens. 
Die Ergebnisse und Anwendungen meines Abschätzungs- 
verfahrens dürften neu sein. Sein Grundgedanke ist es, wie 
ich nachträglich merkte, nicht; es hat ihn schon Ri e mann, 
wie H. A. Schwarz aus Notizen in dessen Nachlaß heraus- 
fand, 1 ) benützt, vielleicht beeinflußt durch verwandte Über- 
legungen bei Laplace. Dieser Grundgedanke besteht in fol- 
gendem: 
f (z) = f (| -f- i rj) sei eine analytische Funktion ; z 0 sei eine 
einfache Nullstelle der Ableitung f‘(z) und es sei f{z 0 ) ^ 0. 
Die Funktion f{z) gestattet dann in der Umgebung der Stelle z 0 
eine Entwickelung der Form : 
m = rw[i+ ^ c* -*•)*+ 
6 ) 
und es gibt durch z Q zwei aufeinander senkrechte Gerade g { , g 2 
von folgender Eigenschaft: auf g i und g 2 ist ( z — 
2f(z 0 ) ree ^ und zwar positiv auf g lt negativ auf g 2 . 
Hat man nun 
7) 
c 
zu bilden längs einer Kurve C, die durch z 0 geht und in diesem 
Punkte g 2 zur Tangente hat, so nimmt f(z) | im Punkte z 0 
einen größeren Wert an als in allen auf C gelegenen Nachbar- 
punkten z und man erhält unter Umständen einen Näherungs- 
wert für das Integral (7), wenn man von dem ganzen Inte- 
grationswege C nur eine gewisse Umgebung der Stelle z Q bei- 
behält. Diese Überlegungen gelten auch dann noch, wenn die 
Tangente an C in z 0 nicht mit g 2 zusammenfällt, sondern mit 
g 2 einen Winkel bildet, der dem Betrage nach < tt/ 4 ist; auch 
darf an Stelle des Punktes z 0 ein Nachbarpunkt gewählt werden. 
Durch die so noch vorhandene große Bewegungsfreiheit läßt 
*) Riemanns Werke, 2. Auf!., S. 429. Eine andere Anwendung 
des Grundgedankens machte Herr Debye, Math. Ann. 67 (1909), S. 537. 
Sitzungsb d. math.-phys. Kl. Jalirg. 1922. 20 
