Abschätzung von Funktionen großer Zahlen. 
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l, Je und s seien beliebige komplexe Zahlen (s jedoch 3 : 0); 
m denken wir uns der Einfachheit halber positiv ganzzahlig. 
Zur Abkürzung nennen wir die Funktion (49) F(z), ihren 
Faktor exp s (1 — z)~ m dagegen F l (z), ihren anderen Faktor 
9 5 C 2 ') (— ( 1 — [lg(l — ']*)• Statt dieser Funktion cp (z) 
konnte ebenso gut irgend eine andere aus der Klasse der Funk- 
tionen gewählt werden, die ich in einer früheren Abhandlung 1 ) 
mit <p (z), cp a (z) bezeichnet habe. Den Einfluß des Faktors 
cp{z) kann man leicht hinterher in Rechnung stellen; wir be- 
trachten vorerst bloß die Funktion F x (z) und haben, um das 
Cauchysche Integral für deren Taylorkoeffizienten abzuschätzen, 
nach der Vorschrift von § 1 die Gleichung 
d 1 s _ 
dz <g"+' 6XP (1 — z) m ~ ° 
aufzulösen. Setzt man z — 1 -f- 4T, so geht diese Gleichung 
über in 
51) ( — £) m+1 = — (rns -\- ms£). 
n -f- 1 
Ihre (m +1) Wurzeln werden bei großem n sämtlich 
näherungsweise durch die Formel 
52) 
m + 1 
K m s 
n + 1 
geliefert. Sehen wir von dem Falle eines reellen negativen s 
zunächst ab, so ist unter den m -(- 1 Werten (52) einer mit 
dem kleinsten Realteil (für reelles negatives s kämen zwei 
Werte in Frage); es hat daher auch von den m + 1 Wurzeln 
der Gleichung (51), falls n groß und s nicht negativ reell ist, 
eine den kleinsten (notwendig negativen) Realteil; diese Wurzel 
von (51) bezeichnen wir mit 
52 ) Co=|tol« <a 
und setzen 
J ) Diese Berichte 1917, S. 263. 
