Abschätzung von Funktionen großer Zahlen. 
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69) 6» = 0(1)»), 6, = 0(1), 
70) = 0 (| « 2 1 für r^>3. 
Den Ausdruck (68) für Cr (9?) setzen wir in (55) ein und 
integrieren gliedweise zwischen den Grenzen — oo, -\- oo. 
Indem wir noch beachten, was sogleich bewiesen werden soll, 
daß nämlich das Integral über den Kreis \s\—\ -f- |£j als 
von der Ordnung 0 (n~ w ) vernachlässigt werden darf, erhalten 
wir so die gesuchte asymptotische Reihe für den Taylorkoef- 
fizienten C n der Funktion F (z). Ihr Anfangs- und Haupt- 
glied ist 
F C^o) £q 
4 +1 V—2 Ji (n -fi- 1) (m + 1) £ 0 :z 0 
Daß das über die Kreislinie \z = 1 -\- |f 0 j zu erstreckende 
Integral vernachlässigt werden darf, sieht man so ein: * 2 ) Sein 
Wert ist 
72) ext (i^p) 0 + ::.i)-+ ~i ( ~ lgl ^ !)|t| • °w 
und es ist nur zu zeigen, daß dieser Ausdruck 
= ( _F(s 0 ) ( : |^ 0 i n + 1 ) O(n~ co ) ist, oder, was dasselbe, daß 
73) 
1 
(1 + Ko!)" +1 
\FM\ 
kol” +1 
= 0(n~") 
ist. Nun gibt es aber einen Wert <p, im Intervall 0 ... 2 n 
(für m > 1 sogar mehr als einen), für den der Wert des Aus- 
drucks (57) gleich 
74) 
— 0 + i) lg 
1 + £ 0 e ,yi 
1 + fo 
s 
(FQ- 
x ) Auf die Koeffizienten b lt b 3 , b 6 , . . . kommt es übrigens gar 
nicht an, da sie bei der gliedweisen Integration von (68) zwischen den 
Grenzen — oo , oo doch wegfallen. 
2 ) Ist F ( z ) eindeutig (k = 0, l ganzzahlig), so ist dieses Integral 
von einem gewissen n ab sogar genau gleich Null; denn dann kann es, 
ohne seinen Wert zu ändern, auch über die Kreislinie \z\—R mit be- 
liebig großem R erstreckt werden. 
