Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems. 307 
ö i — * ßi 7i 
2) A = a s ß, — X y 2 I = 0 , 
ö 3 /^3 7 3 ^ 
während aus 1) noch folgt 
3) x 2 (. x 2 + y 2 -f ^ 2 ) = x 2 + y- + z 2 . 
Die bekannten Identitäten (je nachdem A = ± 1) 
± a i = ß 2 Ys — Y 2 ß 3 , ± ßi = 7i a 3 — a »Y 3 , ± Yi = a 2 ß 3 ~ ß 2 a 3 
a 2 Yi ßs ßiY 3 i — ßi «» 73 Y\ a 3 ’ ~ Yi == ß\ a 3 a i ß 3 
± a 3 = ßi Y 2 ~ Yi ßi, ± ß 3 = Yi a i~a,Yi, ± Y 3 = a \ ßi — ßi a 2 
dienen nun zur Entwicklung der Gleichung 2). 
Man erhält zunächst 
A = A —P — X (a, ß 2 -f a x y 3 ) + P (a x + ß 3 + Y 3 ) 
~ X ( ßi Y 3 ~ Yi ß 3 ) + * (ßi a i + Yj a 3 )> 
oder, wenn man 
ßi Y 3 Y 2 ß 3 — a i 
Yi a 3 a iYs ~ ßi 
a iß\ === a i /^2 ~ Y 3 
setzt, mittels des Ausdruckes 
4) ® = a i + ßi + y 3 i 
der als Charakteristik der Determinante A bezeichnet 
werde, die Gleichung 
I P — PQ±XQ — A = 0, 
in der die oberen (unteren) Vorzeichen dem Falle A = ± 1 
entsprechen. Für A = -f- 1 hat daher A die Wurzel X = -|- 1, 
für A = — 1 aber X = — 1, so daß die beiden anderen Wurzeln 
durch die reciproken Gleichungen 
Ia P + X(1 — Q) + 1 = 0 
Ib P — X(l + Q) + 1 = 0 
in der Form 
