308 
A. Voss 
2 A, = — (1 — Q) ± V (1 — Q) 2 - 4 
2*, = + (1 + . 0 ) ± vn + ß)« - 4 
gegeben sind. 
Aus 3) folgt noch : Ist A + ± 1 , so muß x 2 + y 2 -j- z 2 — 0 
sein. Dann sind aber die x, y, s notwendig imaginär, also 
auch die betreffenden Werte des A selbst. 
Für A = \ 1 ist A = + 1 niemals Doppelwurzel, denn 
A = f(X) gibt für diesen Fall 
f‘( 1 ) = 3 — .Q. 
Dies kann aber nur verschwinden, wenn a, = 0, ß 2 = 1» 
y 3 = 1 ist, d. h. wenn eine von der Identität verschiedene 
Transformation gar nicht vorliegt. Soll dagegen in diesem 
Falle A = 4" 1, A =* — 1 Wurzel sein, so ist sie immer zu- 
gleich Doppelwurzel; mutatis mutandis gelten dieselben An- 
gaben für A — — l. 1 ) Im allgemeinen erhält man also neben 
einer reell in Varianten Geraden zwei Minimalrich- 
tungen; für den Fall zl = -f- 1 hat die reelle Gerade die 
Bedeutung der Drehungsaxe. Aber in einem besonderen 
Falle können die beiden Minimalrichtungen auch ganz in Weg- 
fall kommen, w r as vielleicht bisher nicht bemerkt worden ist. 
Sie vereinigen sich dabei etwa nicht zu einer einzigen Minimal- 
richtung, was ja auch an und für sich unmöglich sein würde, 
sondern ergeben nur eine einzige reell-invariante Gerade. 
Dieser Fall entspricht bei A = + 1 dem Werte Q = — 1. 
Zunächst hat man für A = + 1 die bekannte Lösung von 
x ( a i — 1) + yßt + z Yi = 0 
+ y(ß% — i) -f *y% = o 
x a s + y ßs + z (^s — i) = o , 
0 Dies entspricht dem (vgl. Göttinger Nachrichten 1887, S. 430) 
von mir bereits 1878 in den Mathematischen Annalen, Bd. XIII bewie- 
senen, bei allen orthogonalen Substitutionen gültigen Satze, vgl. auch 
die spätere Note von Stieltjes in den Acta mathematica, Bd. VI, 188(3. 
