G. Hauer; Von der Kurve 6. Ordnung. 
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daß sie auch durch die zwei Kreispunkte 4) geht. Die 
Kurve ist also der über A B konstruierte Kreis.*) 
4. Die Brennpunktkurve hat, wie schon Cayley gefunden, 
acht Doppelpunkte.*) Vermöge der einfachen Zusam- 
mensetzung der Gleichung 17) lassen sich diese acht 
Doppelpunkte sofort aus derselben erkennen. Es sind 
die zwei Kreispunkte /j, die drei Ecken des Fundamental- 
dreiecks Ä, B, 6', und die drei Fußpunkte der Höhen desselben 
B, E, F, durch welche je zwei der Kreise K und eine Seite 
des Dreiecks A B C gehen. Jeder der Kreise K geht durch 
sechs dieser Doppelpunkte und hat mithin keinen weiteren 
Punkt mit der Kurve 6. Ordnung gemein. 
Man bemerke, daß die Gleichung 17) nicht nur verwendbar 
ist, wenn die Basispunkte des Kegelschnittbü-schels reell sind, 
sondern auch, wenn dieselben sämtlich imaginär sind, 
da auch in diesem F alle das Polardreieck A B (J des Büschels 
ganz reell ist. Die Doppelpunkte der Brennpunktkurve bleiben 
mithin auch, außer sämtlich reell, wenn die zwei Kegel- 
') Will man die Gleichung des Kreises direkt berechnen, so kann 
man von einer allgemeinen Kreisgleichung in trimetrischen Koordinaten 
ausgehen. Um eine solche zu erhalten, bemerke man, daß, wenn S = 0 
die Gleichung irgend eines Kreises ist, 6' -j- (a -|- jd .fo + y Xj) O = 0, 
wo a, ß, y beliebige Konstanten sind, eine solche allgemeine Foian der 
Kreisgleichung ist. Für S kann man allenfalls den unendlich kleinen 
Kreis um A beschrieben nehmen, also S = ^2 + -^3 -j- 2 x-i cos A setzen. 
2) Cayley (a. a. 0.) waren nur die fünf Doppelpunkte Ii, I-i, A, B, C 
bekannt. Um nachzuweisen, daß die Kurve acht Doppelpunkte habe, zeigt 
er zunächst, daß, wie schon Sylvester a. a. 0. p. 384 bemerkt, jede Ge- 
rade, welche einen der Kreispunkte Jj, I 2 mit einem der vier Basis- 
punkte des Büschels verbindet, Doppeltangente der Kurve ist, sodann 
daß noch zwei einfache Tangenten von jedem der Punkte Ii , I 2 an die 
Kurve gehen. Es gehen mithin von Jj 2.4 2 = 10 Tangenten an die 
Kurve. Daraus folgt die Klassenzahl der Kurve = 14. Dieselbe erfährt 
also, da 14 = 6 5 — 16, eine Depression um 2.8, woraus zu folgern ist, 
daß die Kurve acht Doppelpunkte hat. — Daß die drei Punkte D, E, F 
auch Doppelpunkte der Kurve sind, hat K. Bobek auf synthetischem 
Wege nachgewiesen. („Die Brennpunktkurve des Kegelschnittbüschels.“ 
Monatshefte für Mathematik und Physik. Wien, III. Jahrg., 1892, p. 312.) 
