A. Pringsheim: Über einige Konvergenz-Kriterien. 
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heit genähert werden kann, wenn man nur hinlänglich 
groß, dagegen py _ i nur wenig größer als 1 anniramt. Auf 
Grund dieser Überlegung ergibt sich ein von den bisherigen 
Kriterien wesentlich verschiedener Kriterien-Typus, bei welchem 
einer Kategorie von Termen ] . t ~ ! (z. B. denjenigen mit 
I Oy^-[Oy I 
geradem Index v) eine obere Schranke zugewiesen wird, die 
mit unbegrenzt wachsendem Index gegen die Einheit konver- 
giert, wogegen dann die obere Schranke der anderen Kategorie 
schließlich der Null ^ustrebt. Man setze z. B. 
p.y-^ = 1 -i- p,y = q_y (v = 1, 2, 3, . . .), 
wo qy (v = 1, 2, 3, . . .) eine Folge oberhalb der Einheit liegen- 
der, mit V irgendwie ins Unendliche wachsender Zahlen be- 
deutet. Alsdann ergeben sich aus (C) durch Trennung der 
für gerade und ungerade Indices v geltenden Ungleichuhgen 
die folgenden Konvergenz-Bedingungen; 
o o o o 
(IV) 
«2» 
< 
— 1 
«2v-f l 
< 
1 
biv~\ h-iy - gv + 1 ’ , hiyl)2yj^\ \ qy (gv + i -f- 1) 
(v>l). 
Wegen /;, = 1 4- > 1 ist auch hier das Eintreten des 
2i 
„Ausnahmefalles“ von vornherein ausgeschlossen. 
V. Es möge jetzt unter p,. (v = 1, 2, 3, . . .) eine Folge 
mit V monoton ins Unendliche wachsender Zahlen verstanden 
und speziell p^ = 1 gesetzt werden. Unterwirft man hierauf die 
j ' 
i by^]hy 
(V) 
der Bedingung: 
hy _ I h, 
Pv-\Pv 
0’^2), 
so genügen sie a fortiori der Konvei'genz-Bedingung (C) und 
zwar hat man sogar, da py-\'> 1 für v ^ 3 : 
tty 
by-iby 
< 
P v— I 
Py-1 Pv 
1905. Sitzung.sb. d. math.-phys. Kl. 
(v^3) 
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