37 6 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 4. November 1905. 
Ai’gumente &y konvergieren soll. Danach muß doch jeder 
Unbefangene vermuten, daß eine irgendwie nennenswerte 
Anzahl von Wertkombinationen der (>’ = 2, 3, . . .) existiert, 
für welche die Konvergenz der Reihe (19) zur Konvergenz 
des Kettenbruches (18) wirklich notwendig ist. Nun gibt 
es aber in Wahrheit einen einzigen Fall, in welchem die 
Konvergenz jener Reihe für diejenige des Kettenbruches in 
Frage kommt: nämlich, wenn durchweg = — 1, also 
(9,. = n (v = 2, 3, . . .) ist. In allen übrigen erdenklichen 
Fällen konvergiert der Kettenbruch, sofern nur < 1 
(r = 2, 3, . . .), mag im übrigen die Reihe (18) konvergieren 
oder divergieren. ') Die in dem obigen Kriterium betonte 
Notwendigkeit jener Bedingung kommt also lediglich da- 
durch zustande, daß ein ganz markanter Ausnahmefall, der 
einzig und allein die Erfüllung jener Bedingung erheischt, 
mit allen überhaupt vorhandenen übrigen Fällen zu einer 
Gesamtheit vereinigt und sodann über diese Gesamtheit 
ohne jede weitere Erklärung eine Aussage gemacht wird, deren 
Richtigkeit ausschließlich auf der Existenz jenes Aus- 
nahmefalles beruht und die sofort hinfällig wird, wenn 
man den letzteren aus der Gesamtmenge der Fälle entfernt. 
') Genügen die r,. nicht der Bedingung, daß durchweg (oder zum 
miudesten von einer bestimmten Stelle ab) >>•< 1, so lassen sich allge- 
meine Aussagen über eine etwaige Konvergenz des Kettenbiuches 
überhaupt nicht machen. Die in Frage stehende Notwendigkeit jener 
Konvergenz-Bedingung hat dann wiederum nur den Sinn, daß in dem 
speziellen Falle e’^' '= — 1 (>• — 2, 3, . . .) der Kettenbruch (19) sicher 
divergiert, wenn die Reihe (18) divergiert. 
Das letztere findet z. B. immer statt, wenn durchweg (oder zum 
mindesten von einer bestimmten Stelle ab) (V > 1. Ist dann — 1 
[v — 2, 3, . . .), so werden offenbar alle Teilbrüche von einer bestimmten 
Stelle ab wesentlich positiv. Der mit dem unmittelbar vorangehen- 
den Gliede beginnende Rest-Kettenbruch kann dann mit Hilfe der für 
Kettenbrüche mit positiven Gliedern geltenden Kriterien beurteilt und 
eventuell als konvergent erkannt worden, obschon der Gesamt-Ketten- 
bruch nach 00 divergiert. (Genauer ausgedrückt: sein absoluter Wert 
divergiert nach -f- oo, während er selbst zwischen -)- ® und — oo 
oszilliert). 
