0. Perron: Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche. 497 
welche mit dem System der beiden folgenden äquivalent ist : 
(5) QX = A,n_i X Q B,n_x X -\- ^m. 
Durch Elimination von x folgt hieraus 
( 6 ) 
f{Q) = 
A„i _ 1 g A„, 
— 1 Sm Q 
während für x selbst die Beziehunsf 
O 
= 0 , 
(7) Am-l)x A^ = 0 
hervorgeht. Die Gleichung für g ist stets quadratisch und hat 
wegen (2) auch niemals die Wurzel p = 0, dagegen kann die 
für X sehr wohl auch vom ersten oder nullten Grad sein. 
Doch ist leicht zu sehen, daß in diesem Fall der Kettenbruch 
stets divergiert; ist nämlich ß„i — i = 0, so folgt aus der zweiten 
der Relationen (4) für X = Ä: = 1, 2, 3, ... sukzessive 
= 0, B'im — i = 0, etc. Es gibt also unendlich viele 
sinnlose Näherungsbrüche (d. h. mit dem Nenner Null), und 
von Konvergenz kann somit keine Rede sein. Im folgenden 
setzen wir daher die zur Konvergenz notwendige Be- 
dingung 
(8) rj: 0 
als erfüllt voraus, so daß Gleichung (7) wirklich eine 
quadratische ist. 
2. 
Eliminiert man aus der ersten der Gleichungen (4) und 
aus denjenigen zAvei Gleichungen, die aus (4) hervorgehen, 
wenn darin h durch h — 1 ersetzt wird, die Größen 
SO erhält man: 
^9^ + A — 
{Am-\ + B„^A(ic^-[) m-j-A “H (^A,fiBfti — ] 
Am—^ Bjn') j4(fc_2) ; 
und durch eine analoge Überlegung, indem man die beiden 
Gleichungen (4) ihre Rolle vertauschen läßt, ebenso ; 
( 10 ) 
B. 
'**n4-A 
(^m-I -f B„,) Bf^k-l)m+>. + {A„,B„t-l A,„-: B,„)B^k-2)m+k- 
