0. Perron: Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche. 499 
bedingung zu finden, nehmen wir an, der Kettenbruch kon- 
vergiere (gegen den Wert x). Da alsdann lim ^ 
ist, SO muß für huirGiclicnd groß© Je gowiß von 0 VGr- 
schieden sein; man darf also (15) durch dividieren, 
und erhält dann durch Übergang zur Grenze it = oo : 
lim 
Ä = 00 
-A.m + / 
(-ßffi + Q -B;.) X {xL„, — - Q ^4;.), 
(für Q = Qo, g,). 
Die links stehende Determinante kann nicht für zwei auf- 
einander folgende \\ erte von Ä verschwinden. Denn in diesem 
Fall folgt, da dann die rechte Seite für o = und g = g^. 
also identisch in g verschwindet: 
B). X ^yX — A,,, ^ y , 
und indem man durch die nächstfolgende Zahl ersetzt, auch : 
By-\-\X Ay^i, I a: = A„i^y^i , 
woraus ByÄy^y — AyBy-^i = 0 hervorgiuge ; aber dies steht 
mit (2) im Widerspruch. Man kann somit A derart wählen, 
daß die fragliche Determinante nicht versch^vundet ; dann ist aber 
aus der letzten Gleichung offenbar die Existenz der Grenzwerte 
(IG) 
,. Po 
hm 
ft =: 00 -^ft rn 
= Bq, lim 
ft = X m -j- X 
zu schließen. M ürden diese beide verschwinden, so folgte wieder 
wie oben: Byx = Ay, B„,y/.x = A„,yi/., und demnach müßte 
die Determinante versclnvinden , was unsrer ausdrücklichen 
Annahme widerspj-icht. Sei also 4 0 ; dann darf die zweite 
Gleichung (16) durch die erste dividiert werden, und es er- 
gibt sich: 
lim f 
k= r. V Pn 
B: 
Bq 
Dies ist aber nur möglich, wenn gQ > g^ , B^ — 0 ist. 
