G. Faber: Nicht-Fortsetzbarheit getcisser Potenzreihen. 
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Nun bestehen folgende Hilfssätze: 
Hilfssatz II. 1 ) Genügt die ganze Funktion G (x) für ein 
beliebiges positives s und für r>r‘ der Ungleichung: 
(12 a ) [ G (r e*>) j < e er , 
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so hat die Funktion S’’ G (v) x v (d. h. die Reihe und ihre ana- 
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lytische Fortsetzung) keine andere singuläre Stelle als x=\. 
Als G ( x ) denke man sich speziell die vorhin so bezeich- 
nete Funktion. 
Hilfssatz III. 2 ) Sind a die singulären Stellen der Funktion 
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Uy x r und ß diejenigen der Funktion X/’’ b v x v , so befinden 
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sich die Singularitäten der Funktion a,, b v x v unter den 
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Stellen a • ß. 
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Wendet man diesen Satz auf die Reihen «„ x" v (1) 
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und Ü*' G (v) x v an, so ergibt sich unter Beachtung des Hilfs- 
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satzes H, dass jede singuläre Stelle der Reihe X/’ G (n v )'a„ x 1 '' , 
o v 
für die nach der Definition von G ( x ) auch 
CO 
(16) G (m v ) a„, v x m r 
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geschrieben werden darf, auch eine solche der Funktion 
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v a» v x"v ist; da infolge von (2) und (15) 
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m v 
(1 7) lim V G (m v ) j a„ v | = 1 
ist, hat die Reihe (16) als Konvergenzkreis den Einheitskreis; 
und dieser ist nach der Bestimmung der m v (14) und nach 
Hilfssatz I eine singuläre Linie für (16) und damit auch für (1). 
’) Leau, Journ. de Math. (5) 5 (1899). — Faber, Math. Arm. 
57 (1903), p. 374. 
2 ) Hadamar d, acta math. 22 (1898). 
