G. Faber: Nicht- Fortsetzbarkeit geicisser Potenzreihen. 
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und allgemein, wie man leicht durch vollständige Induktion 
nachweist: *) 
(24) 
(F(x)) = X> 
1 
d v F (x) 
dx v 
wo 
(25) 
b?< 
2«-(*-i): 
also wenn das Gebiet S ganz innerhalb des um den Nullpunkt 
mit dem Radius 72 (> 1) beschriebenen Kreises liegt: 
(26) ! V* (. F{x )) < 2* • (* - 1)! R " ~ f ^ 1 
i vl 
und mit Benutzung von (22): 
(27) 
I *'{F(x))\< 
< 
GL 
■ 2* (x 
2 7i • rj 
G • L 
f2B 
2 71 • Yj 
V V . 
l)!l> 
i 
y. 
i 
Lautet nun die Potenzreihenentwickelung der oben ((19) 
und (20)) erwähnten Funktion G(x): 
(28) G (x) = X> c x x'\ 
o 
so folgt aus (20): 
(29) lim Y\ c y . | • x ! = 0. 2 ) 
y. — 3o 
CO 
Bildet man daher die Reihe Xj* c x (F(x)), so ist die- 
o 
selbe wegen (27) und (29) für alle x in S 1 gleichmässig kon- 
vergent, stellt daher nach dem Weierstrass’schen Doppel- 
reihensatze eine in S 1 reguläre analytische Funktion dar; die 
9 S. Faber, Math. Ann. 57 (1903), p. 375. 
2 ) Poincare, Bull, de la soe. math. de France 11 (1883). — Lin- 
delöf, a. a. O., p. 34. — Pringsheim, Sitzungsber. d. Münch. Akad. 
Bd. 32 (1902), p. 188; Math. Ann. 58 (1904), p. 266. 
