G. Bamri BemerTcungen über einige Determinanten etc. 349 
die Gleichung 3.) in II.) über; liegen zugleich die Centreii 
der vier Kugeln in einer Ebene, so folgt aus dieser Gleichung 
für die Bedingung, dass die vier Kugeln eine Linie gleicher 
Potenzen gemein haben oder vier Kreise ij, r^, r,, r 4 in 
der Ebene einen gemeinsamen Oithogonalkreis haben 
m = 0 . 
wenn durch das Zusammenfallen der zwei Systeme in 
Ro‘^ bezeichnet wird. 
Es ist jedoch zu bemerken, dass wenn die vier Punkte 
eines Systems in einer Ebene liegen R^‘^ in zwei Faktoren 
zerfällt. Denn ist irgend eines seiner Elemente, so ist 
nach einer bekannten Formel 
d^R _ dR dR 
dass dass dass da^s da^e da^s 
(b. 
aber 
dR , 
d a s6 
also in diesem Falle =- 0, während 
d^R 
dass dass 
iF’h Hieraus folgt, dass in Gleichung 4.) 
= (W (-d^) = 
ai 
(4^y 
ist, wo A das von den 3 Centren Aj Äg Ag gebildete Dreieck 
ist, und a die in n^2 gegebene Bedeutung hat. Liegen 
also keine drei der Centreu in einer Graden, so kann die 
Gleichung o, = 0, oder überhaupt eine der Gleichungen 
Oj = 0, i = 1 , 2, 3 , 4 (5. 
die Gleichung 4.) ersetzen. 
6. Wir haben in n°4 gesehen, dass E^*^ = 0, wenn die 
Systeme von Punkten auf Kugelflächen liegen. Es lässt sich 
nun aber auch die Bedeutung dieser Determinante finden, 
wenn die Lage der Punkte willkürlich ist. Nehmen wir an, 
dass die Kugeln r des l‘®° Systems sich in einem Punkte 
schneiden, so ist ? = 0, und dieser Punkt 0 der fünfte des 
2‘*“ Systems, also r, = dis, r, = d 25 , . . Nennen wir also 
