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H. Liebmann 
den Anspruch, grundsätzlich Neues zu bieten. Von den beiden 
hier wiedergegebenen Beweisen soll vielmehr der erste nur 
den Formelaufwand möglichst einschränken, der zweite aber 
den Rahmen allerelementarster Rechnungen nicht überschi-eiten. 
Deragemäh sollen sich die Beweise auch auf den einfachen 
von Poncelet selbst vorangestellten Fall beziehen, daß es 
sich um ein Kreisbüschel 
( 1 ) iß — — 2 k{x — a) = 0 
handelt und zwar um ein hyperbolisches, so daß 
a ^ r 
vorausgesetzt wird. Dann lautet der Satz so: 
Legt man von einem beliebig gewählten Funkt P, 
(5 O O 1 
des Kreises K (k = 0) die Tangente an einen bestimmten 
Kreis z, (< r) des Büschels und bezeichnet ihren zwei- 
ten Schnittpunkt mit K durch P^, legt man dann von 
P^ aus eine weitere Tangente an einen bestimmten 
Kreis des Büschels, welche AT zum zweiten Mal 
in Pg schneidet, so berührt unabhängig von der Wahl 
des Ausgangspunktes P,, die Sehne Pg Pj ebenfalls 
immer einen und denselben Kreis /g des Büschels. 
Erster Beweis (Differentialgeometrisch). 
Wir betrachten zunächst nur eine Sehne P, Pj des Kreises K 
und suchen die Bedingung dafür aufzustellen, daß sie beständig 
einen und denselben Kreis (/,) des Büschels berührt. 
Es sei P, Pg eine bestimmte Lage der Berührungssehne und 
< yf 0 P, = 9?, , < .4 C» Pg = 
ferner T ihr Berührungspunkt mit dem Kreis (/,) und 
eine benachbarte Berührungssehne, die denselben Kreis kj be- 
rührt, wobei 
< J, 0 = 99, 4 - , < A D = 9 -g -h ff 9^2 
ist. Bezeichnet man den Schnittpunkt der beiden benachbarten 
