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H. Liebmann 
In derselben Weise folgt 
«2 = 2 A, (a — r cos , 
und aus (2) folgt dann 
( 3 ) = 0 . 
V a — r cos y a — r cos (p.j 
Hieraus folgt, dals die Zentriwinkel (93, und <pg), welche zu 
den Endpunkten P, und Pg der Sehne gehören, dann und nur 
dann die DiflFerentialgleichung ( 3 ) erfüllen, wenn die Sehne Pj Pg 
beständig einen und denselben Kreis Aj berührt. 
Auf der andern Seite denken wir uns jetzt 93, und frei 
veränderlich, dann kann man immer den Parameter (Aj) des- 
jenigen Kreises bestimmen, der von Pj Pg berührt wird. Bei 
dieser Betrachtung wird also Aj eine Funktion von 93J und 93g 
und (ZA, drückt sich linear durch (Z93, und dq^.^ aus; und wenn 
Aj konstant ist, muß hieraus die Gleichung ( 3 ) entstehen. Dem- 
nach folgt für diesen allgemeinen Fall 
( 3 ') 
dq>, 
dq>i 
■ r cos 93, 
r cos 93g 
= (ZA, •/’(93,, 93g). 
Mit dieser einen einfachen Überlegung ist aber der 
Schließungssatz bewiesen; denn wenn sowohl P, Pg beständig 
denselben Kreis A, wie PgPg denselben Kreis Ag berührt, so 
folgt durch zweimalige Anwendung von ( 3 ), daß auch 
Ka — r cos 933 
(Z93, 
Va-, 
= 0 
r cos 93, 
ist, daß also auch P3 P, beständig denselben Kreis (Ag) berührt. 
Zusatz zum ersten Beweis. 
Obwohl dies die bisherige Betrachtung nicht erfordert, 
möge nun doch noch der Vollständigkeit halber die genaue 
Berechnung von ( 3 ') folgen unter Verwendung der Abkürzungen 
= a — r cos 93, , — a — r cos 93g . 
