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Dies soll natürlich hier nicht rechnerisch durchgeführt werden, 
aber ein Hinweis mag deswegen erlaubt sein, weil die längst 
gewonnene Erkenntnis, daß das Integral A, eben gerade 
durch den Schließungssatz gewonnen wird, noch mehr- 
fach in den Darstellungen über Gebühr zurücktritt. 
Zweiter Beweis (Elementargeometrisch). 
Bei diesem zweiten Beweis, der naturgemäß etwas mehr 
Rechnung erfordert, dafür aber auch die bisher nicht abge- 
leitete „Schließungsbedingung“ zwischen den Parametern Xj, A3 
der von den drei Sehnen P2P3 ^3 A berührten 
Kreise liefert, bezeichnen wir die Zentriwinkel 
<^OP,, <^OP2, <^OP3 
mit 29 ?j, 2 9?2, 29^3, 
weil dadurch die Formeln einfacher werden. 
Die Radien der berührten Kreise hängen mit den Para- 
metern A, , Aj, A3 zusammen durch die Gleichungen 
( 4 ) o, = Kr® — 2 aA. + A? (i = 1 , 2 , 3 ), 
’) Der Ponceletsche Beweis, von E. Kötter (a. a. 0., 3. 150 ge- 
nau besprochen) macht bekanntlich von der Betrachtung Gebrauch, daß 
eine Kurve, die von Kegelschnitten eines Büschels in jedem ihrer Punkte 
berührt wird, notwendig ein bestimmter Kegelschnitt des Büschels sein 
muß. — R. Sturm (Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften I, 
Leipzig 1908, § 31) erhält den Satz aus allgemeineren über cyklische 
Involutionen. — Vgl. auch K. Rohn (Jahresberichte der Deutschen Math. 
Ver. 22 (1913), S. 330— 340) und Leipz. Ber. 60 (1908), S. 94— 131. — 
J. Steiner (Ges. Werke I, Berlin 1881, S. 159) hat bekanntlich die Be- 
ziehungen für Vierecke, Fünfecke usw. bis zu den Achtecken angegeben, 
welche bestehen, wenn ein solches Vieleck einem Kreis unbeschrieben 
und zugleich einem andern einbeschrieben Ist. Die Vermutung, die auch 
E. Kötter schon früher ausgesprochen hat (a. a. 0., S. 152), daß Steiner 
den Schließungssatz aus seinem , Kreisreihen-Satz“ (Werke I, S. 43) ab- 
geleitet hat, ist wohl schwer nachzuprüfen. Ein Versuch, durch die 
Laguerresche Linieninversion in Verbindung mit der Transformation 
durch reciproke Radien den viel schwierigeren Po nee letschen Satz aus 
dem Kreisreihen-Satz abzuleiten, hat zu keinem Ergebnis geführt. 
