Elementar-geometrischer Beweis etc. 
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Demnach wird schließlich 
r, v-j- tk^)=P (r^ — — — i X^ qI 
= {>•* 4- - 2 A. A, - 2 A, A3 - 2 A3 A.) - 2 (A, + A^ 
-] A3 — 4 Cf) -j" Af A2A3} = 0. 
Damit ist bewiesen, daß jedes beliebige Wert- 
system u, V, welches (8) erfüllt, auch (7) erfüllt, sobald 
die Schließungsbedingung (9) bzw. (9') erfüllt ist. 
Zusatz zum zweiten Beweis. 
Es mögen noch einige Bemerkungen folgen. 
Bei gegebenem Aj und X^ ist die Schließungsbedingung für 
A3 vom zweiten Grad. Man kann nun noch nachweisen, daß 
unter den gegebenen Vorau.ssetzungen (A, < ?-, Ag < r) nur die- 
jenige Wurzel A3 in Betracht kommt, die auch kleiner als r ist. 
Das geht sehr einfach durch die Betrachtung des Grenzfalls, 
wo die Kreise konzentrisch sind. 
Sodann wollen wir den Satz auf den besonderen Fall an- 
wenden, wenn die Sehnen alle denselben Kreis A berühren. 
(9') geht dann über in 
__.3,.*_2r2A(3A-4n) + A-‘ = 0 
oder wegen 
2rt A = r- -f- A^ — Q- 
in A* — 2 r® A® -j- r* — 4 r* = 0 
X^ = ± 2r g. 
Von den beiden Werten kommt aber wegen X <C r nur 
der zweite in Betracht, und man erhält die längst bekannte^) 
Beziehung, welche zwischen den Radien r und g des unbe- 
schriebenen und einbeschriebenen Kreises eines Dreiecks und 
dem Mittelpunktabstand der Kreise besteht. 
Schon Poncelet selbst^) hat aus dem Schließungs.satz für 
Dreiecke den Schließungssatz für Polygone gefolgert, d. h. für 
1) Sie rührt (nach Angabe von M. Cantor) schon von W. Chapple 
(1746) her. 
Poncelet, a. a. 0., Nr. 534, S. 326. 
