42 G. Faber, Neuer Beweis eines Koebe-Bieberbachschen Satzes. 
das schlichte Äußere einer gewissen Kurve der t'-Ebene auf 
2 abgebildet. Die Punkte von F^ ergeben sich zu je 
vieren aus denen von I durch die Beziehung 
(14) v = Vii-, 
ebenso die Punkte einer geschlossenen Linie /j der v-Ebene aus 
denen von / in der «-Ebene. Die von Xj umschlossene Fläche 
ist aus dem nämlichen Grunde wie die von x größer als und 
um so mehr ist wieder bei hinreichend kleinem e >» 0 : 
(15) die von F^ umschlossene Fläche >» (1 e)®. 
Allgemeiner möge Fu in der v-Ebene das Bild der Kreis- 
linie 2 = R sein; aus (13) folgt sofort, daß 
(16) 
die von Fji umschlossene Fläche mit beliebiger 
Annäherung = 
ist, wenn nur R hinreichend groß ist. Aus (15) und (16) 
schließt man, daß für kleine Werte von e und große von R 
(17) 
die von Fu^^ und Fu begrenzte Ringfläche 
<|rf, — (l-|-e)*7T ist. 
Andererseits wird die Fläche dieses Ringgebietes durch 
folgendes Doppelintegral ausgedrückt,') erstreckt über den 
Kreisring l-l-£< 2 <i?: 
JJ 
K 
l+e 
> d, ^R^:i— d, 2(1 +£) 2 .- 7 . 
rdr 
Die Abschätzungen (17) und (18) widersprechen einander 
nur dann nicht, wenn (Z, | 2 >i ist; es muß mithin wegen (12) 
auch c, |>1 und wegen (9) 'ij >1 sein, w. z. b. w. 
Vgl. Bieberbacb, Rend. del Circ. mat. di Palermo, Bd. 38, oder 
Einführung in die konforme Abbildung. Berlin und Leipzig 1915, S. 95. 
