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H. Liebruann 
hier zunächst in seiner Fassung angegeben werden mag. Auf 
die Bedeutung der darin vorkommenden Fachausdrücke kommen 
wir weiter unten zurück. 
L i e sagt : 
„Lichtstrahlen, die ein Pseudonormalensystem bilden, gehen 
bei jeder Reflexion und Refraktion in ein Pseudonormalensystem 
über. Sind bei einer solchen Refraktion die beiden in Betracht 
kommenden Pseudokugeln (d. h. Wellenflächen) wesentlich ver- 
schieden, so bezieht sich jedes Pseudonormalensystem auf den 
betreffenden Raum.“ 
Die folgende Entwickelung wird sich so aufbauen, daß 
wir uns zuerst (§ 1) eine Verallgemeinerung des bekannten 
Gaußschen Satzes über geodätische Parallelkurven vor Augen 
stellen, sodann den von Lie ausgesprochenen allgemeinen 
Malusschen Satz beweisen (§ 2) und endlich den Brunsschen 
Satz in der angegebenen Verallgemeinerung und ohne Ver- 
lassen des reellen Gebietes erhalten (g 3). 
§ I. Der allgemeine Gausssche Satz. 
Es handelt sich darum, die Eigenschaft der geodätischen 
Linien, daß die Orthogonalkurven einer eingliedrigen Schar 
von geodätischen Linien auf ihnen gleiche Stücke abschneiden, 
auf Lagrangesche Variationsprobleme zu erweitern in sach- 
gemäßer Form. 
Die Aufgabe, die Extremalen des Variationsproblems 
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*) S. Lie, Die infinitisimalen Berührungstransformationen der Optik. 
Leipz. Ber. 48 (1896), 131 — 133. Daselbst steht kein Beweis, nur ein 
Rückverweis auf Leipz. Ber. 47 (1895), S. 499 Anm. — Es darf wohl 
angenommen werden, daß die folgenden Ausführungen sich im Rahmen 
der von Lie ersonnenen, aber a. a. 0. nicht einmal angedeuteten Ge- 
dankengänge bewegen, mit dem Unterschied freilich, daß Lie sehr selten 
die hier in den Mittelpunkt tretende Beziehung zwischen Variations- 
rechnung und Berührungstransformationen in den Kreis seiner Betrach- 
tungen zu ziehen pflegte. 
