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Über die Äquivalenz der sogenannten Hölderschen und 
Cesäroschen Grenzwerte und die Verallgemeinerung 
eines beim Beweise benützten Grenzwertsatzes. 
Von Alfred Priugsheini. 
Vorgetragen in der Sitzung am 2. Dezember 1916. 
Der von Herrn J. Schur^) herrührende schöne Beweis für 
die Äquivalenz der sogenannten Hölderschen und Cesäroschen 
Grenzwerte — welche im folgenden mit lim Wl^(s„) und lim 
tl — ► X t» — ► 00 
bezeichnet werden sollen (s. weiter unten Gl. (I), (3) und (H), 
(8), (9)) — beruht zum Teil auf der Feststellung, daß die 
, reguläre Operation“: 
y„ = aE{x„) (l — a) (x„) (wo : E {x„) = x„) 
für 9i(a)>0 , reversibel“ ist (a. a. 0., S. 453), mit anderen 
Worten, daß nicht nur aus der Existenz eines endlichen lim x„ 
n-»- X 
diejenige eines damit gleichwertigen lim y„ folgt, sondern daß 
n— ► X 
auch das umgekehrte gilt. Es ist mir neuerdings gelungen, 
den sehr sinnreichen, immerhin auf verhältnismäßig schwierigen 
Sonderbetrachtungen beruhenden Sch urschen Beweis^) dieses 
’) Math. Ann. 74 (1913), S. 447. Zu der daselbst S. 418 angeführten 
Literatur ist inzwischen noch ein Beweis des fraglichen Satzes von Herrn 
Georg Faber gekommen, welcher ungefähr gleichzeitig mit dem Schur- 
schen Beweise und zwar im Jahrgange 1913 dieser Berichte (S. 519) er- 
schienen ist. 
2) Herr Schur erwähnt (a. a. 0. S. 453, Fußnote) noch einen Be- 
weis des obigen Satzes für reelle a von Herrn J. Mercer (Proc. Lond. 
Math. Soc. (2), 5, p. 206) und für beliebige a von Herrn G. H. Hardy 
