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A. Pringsheim 
(I) — „'T i ('^■^^«-1 (^o) "i“ 'älix-i “H ■ ■ ' + 
/v X 
Diese letzte, zunächst nur für x ^ 3 einen Sinn habende 
Beziehung gilt auch noch für y. = 2 bzw. x = 1, wenn man 
mit bzw. 3Jio(a;y) mit Xy identifiziert '). 
Ist sodann eine unendliche Reihe mit komplexen 
Gliedern und im Falle ihrer Konvergenz: 
(1) lim s„ = lim («0 + a, + • • • + a„) = s, 
« — ► X fl ^ 00 
so hat man auf Grund eines bekannten C au chy sehen Grenz- 
wertsatzes auch : 
(2) lim (s„) = s 
«-►00 
und durch sukzessive Anwendung des nämlichen Satzes all- 
gemein : 
(3) lim 9)1« (s„) = s (>« > 1). 
n -► 00 
Dagegen zieht die Existenz von Gl. (2) nicht umgekehrt 
diejenige von Gl. (1) nach sich und ebensowenig folgt aus der 
Existenz von Gl. (3) für irgend ein bestimmtes ^ = Z: > 1 die- 
jenige für irgend ein x < A', insbesondere nicht die Konver- 
genz der Reihe Es liegt nahe, einen solchen Grenz- 
wert lim Tly.is») = s, da er ja im Falle der Konvergenz mit 
« — ► 00 
der Summe der Reihe übereinstimmen würde, im Falle der 
Divergenz^) bei passender Gelegenheit als eine Art Ersatz 
Analog wie man z. B. beim Gebrauche der logarithmischen 
Infinitärtypen zu setzen pflegt: 
lgta; = lgx, lgoX = a-. 
.2) Selbstverständlich kann die fragliche Eventualität nur im Falle 
uneigentlicher Divergenz eintreten, d. h. wenn von den beiden Reihen 
(wo : -P i = a,,) 
keine nach -h oo oder — co divergiert. Im entgegengesetzten Falle ist, 
wie jener Gau chy sehe Satz lehrt, für jedes x auch: 
lim 9JL (s„) = ® • 
