Höldersclie und Cesärosche Grenzwerte. 
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für die fehlende Summe zu betrachten, ohne deshalb die 
wenig empfehlenswerte Mode mitzumachen, die betreffende Reihe 
schlechthin als summabel („lucus a non lucendo“) zu be- 
zeichnen. Wir wollen etwa, wenn x = ä; > 1 der kleinste Index 
der fraglichen Art ist, uns des Ausdruckes bedienen, die be- 
treffende Reihe sei durch Ä:fache Mittelbildung reducibel 
und s der ihr zugeordnete Grenzwert. 
2. Das Bildungsgesetz der iterierten Mittelwerte 311,, (s„) 
gestaltet sich bei wachsendem x infolge des bei jedem ein- 
zelnen Mittelwerthe auftretenden Nenners äußerst verwickelt. 
Es erscheint daher für die Berechnung des einer reduciblen 
divergenten Reihe zugeordneten Grenzwertes nützlich, daß die 
Grenzwerte der iterierten Mittelbildungen sich durch diejenigen 
wesentlich einfacher gearteter Iterationen ersetzen lassen. 
Es werde gesetzt: 
-■= «0 
+ 
+ • 
• 4* Sn 
(II) 
— So 
+ sl'^ 
+ • 
■ 4- sL” 
J»'- 
So 
• • 4" 
Dabei umfaßt die letzte zunächst nur für x gültige 
Beziehung auch den Fall x = 1, wenn man sf' (v = 0, 1 . . . n) 
die Bedeutung von Sy beilegt. Ferner hat man : 
(4) ^ = 
Fährt man nun hiervon ausgehend in der Weise fort, 
daß man die nächste Mittelbildung nicht auf die Ausdrücke 
^ ^ (v = 0, 1 . . . n), sondern lediglich auf die Sy ausübt, 
so resultiert: 
w + 1 n -\-\ {n -\- \y 
und bei weiterer Fortsetzung dieses Prozesses eine Folge von 
Ausdrücken von der Form: 
15 * 
