Höldersche und Cesärosche Grenzwerte. 
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I 
i'iLöTTlF“' (- = 1,2,3...). 
Wenn dagegen (uneigentlich) divergiert und für 
irgend ein x = Tc'^2l^) eine Beziehung von der Form (7) 
besteht, so kann man diesen Grenzwert mit demselben Maße 
von Berechtigung, wie zuvor im analogen Falle den Grenzwert 
lim als Ersatz für die fehlende Summe der Reihe 
i-f-oo , 
X ' 
ansehen. Dabei steht es offenbar noch frei, den Faktor 7 — 
für jedes x durch einen ihm infinitär gleichen zu ersetzen, 
der sich für die weiteren Betrachtungen als zweckmäßiger er- 
weist, nämlich durch den reciproken Wert des Binomial-Koef- 
fizienten (n -{- x)y . , wegen : 
(n -f ly 
X ! 
(n -j- 1 ) (w -f- 2 ) • • • (n -(- x') 
= 1 .2 •••« 
= {n X)y. 
Setzt man hiernach für « = 1, 2, 3 . . 
(8) 'S»’'’ = (also speziell: = 3«, 
so besteht gleichzeitig mit jeder einzelnen der Beziehungen (7) 
(;< = 1, 2, 3 . . .) die entsprechende folgende: 
(9) lim Si"’ = s 
W-4- 00 
und umgekehrt. 
Da die Bildung der im wesentlichen (d. h. lediglich 
abgesehen von der Hinzufügung des Konvergenzfaktors . 
(n -f- X)y 
auf einer iterierten Summation beruht, so wollen wir, falls 
eine Beziehung von der Form (9) für einen gewissen kleinsten 
Index X = k'^2 (und sodann nach Gl. ( 6 ) für jedes x > Je) 
besteht, sagen, die betreffende Reihe sei durch Ä:fach ite- 
rierte Summation reducibel und s der ihr zugeordnete 
Grenzwert. 
Es erscheint nun wichtig, festzustellen, daß die beiden im 
vorstehenden besprochenen Reduktions-Möglichkeiten stets das- 
