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A. Pringsheim 
selbe Resultat liefern bzw. auch gleichzeitig versagen, 
mit anderen Worten, daß aus der für irgend ein bestimmtes 
Ä:>2^) gemachten Annahme: 
lim = s („Cesäroscher“ Grenzwert) 
n-f Gc 
allemal folgt: 
lim SDlk{s„) = s (,Hölderscher“ Grenzwert) 
n-^co 
und umgekehrt. Ist dieser Nachweis geführt, so wird man 
eine divergente Reihe schlechthin als reducibel von der 
Ordnung h mit dem Grenzwert «.bezeichnen können, unab- 
hängig davon, ob zunächst nur die Existenz von 
lim 3)1* (s„) = s 
n— 
oder von lim Sn^ = s feststeht. 
3. Die Grundlage des fraglichen Nachweises bildet eine 
Rekursionsformel, welche eine einfache Beziehung zwischen 
und herstellt. 
Aus (II) folgt für X > 1 : 
also: 
Sl““" S 
S,i_i , 
Jx-’) 
» 
(n-j-y. — l)«_i (n-j-x — l);,_i 
I (>tf) (x) 
n X s„ n s„_i 
X (w 4- x)« X {n — l-\- x)^ 
n-\-x n „(X) 
• o„ — • o„_i 
X X 
«n— 1 
{n -\- X — l)x — 1 
= -- ((« + 1) sl”' - n S“ ,) +’'■ ' • si,“'. 
X X 
*) Der Fall = 1 würde ja nur auf die bereits erledigte Mittel- 
bildung führen (s. Gl. (4)). 
