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A. Pringsheim 
und durch wiederholte Anwendung dieser Schlußweise all- 
gemein: 
(14) m 2., (a;„) = 3:., si., . . . 3:.^ m {x „) . 
Mit Benützung dieses Ergebnisses folgt aus Gl. (10) durch 
Bildung des arithmetischen Mittels von 9)1 (/Sjr”'^), 9)1 (Sl’'“'') . . . 
9)l(S|r~'^): 
9)l2(Si"-") = 9)1 3:. (S^') = 3:.9)l(Äi’‘^), 
also durch nochmalige Benützung der Rekursionsformel (10), 
wenn man daselbst x durch x -{-1 ersetzt: 
(15) 9)l2(S^-'') = 3:.3:.+,(Si"+'^). 
Ebenso findet man durch nochmalige Mittelbildung aus 
Gl. (15) 
= 3:«3:.+,9)i(Si"+") = 3:.3:.+,3:.+o(-s^’‘+'^) 
und durch Fortsetzung dieser Schlußweise: 
(16) 9)u_i(Ä|r“") = 3:. 3:.+! . . . 3 :.m_2(-s:+'‘--’), 
also für X = 2, wenn man noch beachtet, daß 
= 9)l,(s„) (s. Gl. (4)): 
(17) 9)li.(5„) = ^2S3---3:fc(-SL‘\ 
eine Formel, welche also eine explicite Darstellung von 9)1* (s„) 
durch Sn^ liefert. 
Xun folgt aus der Definitionsgleichung (1 1), da nach dem 
erwähnten Gau chy sehen Satze gleichzeitig mit lim Xn = s 
auch lim 9)1 (:r„) = s, ohne weiteres, daß: 
n — f 00 
(18) lim Xy.{x„) = s, wenn: lim x„ = s. 
n-f X 
Wird also zunächst angenommen, daß 
(19) \imST = s, 
so findet man sukzessive : 
