Höldersche und Cesärosche Grenzwerte. 
221 
(23) 3i (^-j) > 0 
unterworfen sind^), so hat man: 
(24) (a h) lim Xn = lim {aXn -\-hTl (x„y) , 
n -► 00 n — ► 00 
sobald nur feststeht, daß einer dieser beiden Grenz- 
werte eine bestimmte Zahl vorstellt^). 
Beweis. Wird zunächst die Existenz eines endlichen 
lim x„ vorausgesetzt, so lehrt der Cauchysche Grenzwertsatz, 
n— ► 00 
daß auch lim (a;„) = lim a:„, woraus dann die Richtigkeit 
n— ► 00 n-^ 00 
der Beziehung (24) unmittelbar hervorgeht. Dieser Teil der 
ausgesprochenen Behauptung enthält also nichts neues und 
wurde nur der Vollständigkeit halber in die Fassung des Satzes 
aufgenommen. 
Es werde nun zweitens vorausgesetzt, daß der Grenzwert 
auf der rechten Seite von Gl. (24) (im engeren Sinne) existiere, 
und zwar möge er mit (a -\- b)s bezeichnet werden, so daß also: 
(25) lim ( - “ • • 2« (a:„)) = s 
V« + ^ a-i-b ) 
oder auch: 
(26) lim X (x,,) = lim f ^ • Xn 2)i (a;„)'j = s, 
»(-♦•00 n-t-oo \C \ C j ) 
wenn gesetzt wird: 
(27) — ^ \ also: ^ , =1 wo jetzt: 2t (c) > 0. 
^ ’ a -\-b c a -\-b c *’ 
*) Damit ist also schon implicite gesagt, daß nicht nur rt| 
a 
> 0 , 
sondern auch | a -f- & | > 0, da ja andernfalls 
sinnlos wäre. 
a-\-b 
*) Für reelle und a, b bzw. reelles c (s. Gl. (26)) wurde der Satz 
von Herrn Knopp (Math. Ann. 74, S. 459) durch Untersuchung der vor- 
handenen Grenzmögllchkeiten indirekt bewiesen. Das betrelFende Er- 
gebnis läßt sich dann leicht auf den Fall übertragen, daß die oder 
a, h komplex sind. Es versagt aber vollständig, wenn die x^ und 
(T, b als komplex angenommen werden. 
